上次课内容复习： 1、函数极限的E-δ定义 limf(x)=A=/e>0,3δ>0， x→X0 当0<x-x<6时，有f(x)-A<8 2、左极限与右极限 lim f(x)=Alim f(x)=lim f(x)=A X→X0 X→X0 x→X0 3、若数列{xn}收敛，则其极限是唯一的
上次课内容复习： 当 时, 有 1、函数极限的 − 定义 0 0 − x x 2、左极限与右极限 f x A x x = → lim ( ) 0 f x f x A x x x x = = → + → − lim ( ) lim ( ) 0 0 3、若数列 xn 收敛，则其极限是唯一的．
4、若数列{xn}收敛，则数列xn}有界。 5、如果limx=a且a>0(或a<0),则存 在正整数N,当n>N时，都有xn>0(或xn<0)· 6、若数列{x,},{y}都收敛，设mxn=a n→0 imyn=b则 n->a (1)lim(xn±yn)=limx±limy=a±b. K- X→00 X>00 (2)lim(xn'yn)=limxlimy=ab,特别地， 0 X>00 X>0 lim(C.x)=C.limx =Ca (为常数)； lim(xn)=(imxn)次=a
4、若数列 xn 收敛，则数列 xn 有界。 5、如果 且 （或 ），则存 在正整数 N ，当 时，都有 （或 ）. lim n n x a → = a 0 a 0 n N 0 n x 0 n x 6、若数列 都收敛，设 则 （1） ． （2） ，特别地， （为常数）； x y n n , xn a n = → lim yn b n = → lim lim( ) lim lim n n n n x x x x y x y a b → → → = = lim( ) lim lim n n n n x x x x y x y ab → → → = = lim( ) lim n n x x C x C x Ca → → = = lim( ) (lim ) k k k n n x x x x a → → = =
limx (3) 1im=四=2(m,≠0) yn limy,b X-→00 (4)m,=mx=a,k为偶数时，要 求lim=a≥0
lim lim (lim 0) lim n n x n x x n n x x x a y y y b → → → → = = lim lim k k k n n x x x x a → → = = k lim 0 n x x a → = （ 3 ） ． （ 4 ） ， 为偶数时，要 求 ．
三、函数极限的性质 定理6（唯一性）如果limf(x)存在，那么这 X→x 极限是唯一的. 定理7（局部有界性) 若limf(x)=a，则存 在一个去心邻域U(x,),6>0,使得函数f(x)在 U(x,δ)内有界. 定理8（局部保号性) 如果limf(x)=a,而且 a>0(或a<0)，则存在一个U(x,),当x在内 U(x,6)时，就有f(x)>0(或f(x)<0)
三、函数极限的性质 定理7（局部有界性） 若 ，则存 在一个去心邻域 ， ，使得函数 在 内有界. 0 lim ( ) x x f x a → = o 0 U x( , ) 0 f (x) o 0 U x( , ) 0 lim ( ) x x f x → 定理6（唯一性） 如果 存在，那么这 极限是唯一的. 定理8（局部保号性） 如果 ，而且 （或 ），则存在一个 ，当 在内 时，就有 （或 ）. 0 lim ( ) x x f x a → = a 0 a 0 o 0 U x( , ) x o 0 U x( , ) f (x) 0 f (x) 0
四、函数极限的四则运算法则 定理5若1imf(x)=a,limg(x)=b,则有 (1)1im[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=a±b (2)lim[f(x)g(x)]=limf(x)limg(x)=ab lim[Cf(x)]=Clim f(x) (C为常数) lim[f(x)]"=[lim f(x)]" (n为正整数) (3)若b≠0，则有 lim f(x) lim f(x)a 8(x) limg(x)b
定理5 若 lim ( ) , lim ( ) , f x a g x b = = 则有 四、 函数极限的四则运算法则 lim[C f (x)] = Clim f (x) ( C 为常数 ) n n lim[ f (x)] = [lim f (x)] ( n 为正整数 ) 若 b 0 , 则有 （1） （2） （3）