§7.3全微分 一元函数的可微性概念复习 一、全微分 定义如果函数z=f(x,y)在点(x,y)的全增量 △z=f(x+△x,y+△y)-f(x,y) 可表示为 △2=AAx+B△y+O(p) 其中A、B与△x、△y无关，仅与、y有关，p=V(Ax)2+(Ay)2 则称函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分，A△x+B△y称为 函数z=fx,y)在点(x,y)的全微分，记作d正，即 dz=A△x+B△y
§7.3 全微分 一元函数的可微性概念复习 一、全微分 定义 如果函数 在点 的全增量 可表示为 其中 、 与 、 无关，仅与 、 有关， 则称函数 在点 可微分， 称为 函数 在点 的全微分，记作 ，即 z = f (x, y) (x, y) z = f (x + x, y + y) − f (x, y) z = Ax + By + o() A B x y x y 2 2 = (x) + (y) z = f (x, y) (x, y) Ax + By z = f (x, y) (x, y) dz dz = Ax + By
如果函数z=f(x,y)在区域D内的每一点都可微 分，则称函数z=f(x,y)在区域D内可微。 定理1（可微的必要条件）如果函数z=f(x,y) 在点(x,y)可微分，则函数z=f(x,)在点(x,y)的偏 导数、距 存在，且有 ax dy dz a2+0y 8x yo
如果函数 z = f (x, y) 在区域 D 内的每一点都可微 分，则称函数 z = f (x, y) 在区域 D 内可微。 在点 定理1 (可微的必要条件) 如果函数 可微分，则函数 在点 的偏 y y z x x z z + d = z = f (x, y) (x, y) z = f (x, y) (x, y) x z y z 导数 、 存在，且有
例1讨论函数 x2+y2≠0 x2+y2=0 在点(0,0)的可微性。 定理2（可微的充分条件）如果函数z=f(x,y) 在点(x,y)的某一邻域内存在偏导数) 0z02 ,且这 两个偏导数在点(x,y)连续，则函数2=f(x,y)在点 (x,y)可微
例1 讨论函数 2 2 2 2 2 2 0 ( , ) 0 0 xy x y f x y x y x y + = + + = 在点 (0,0) 的可微性。 定理2 (可微的充分条件) 如果函数 的某一邻域内存在偏导数 、 ，且这 两个偏导数在点 连续,则函数 在点 在点 z = f (x, y) (x, y) x z y z (x, y) z = f (x, y) (x, y) 可微
定理2说明，两个偏导数连续，则函数可微分， 但是，反之则未必成立。 例如 x2+y2=0 在点(0,0)处可微分，但是其两个偏导数在(0,0)处 都不连续
定理2说明，两个偏导数连续，则函数可微分， 但是，反之则未必成立。 例如 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( )sin , 0 ( , ) 0 0 x y x y f x y x y x y + + = + + = 在点 处可微分，但是其两个偏导数在 处 都不连续。 (0,0) (0,0)
例1计算函数z=ey在点(2,1)处的全微分. dz e'dx +2e'dy. 例2求函数z=yc0s(x-2y)，当x=,y=兀， =4=元时的全微分。 8(4-7》 例3求函数u=ln(xy+z2)的全微分
例 2 求函数 z = y cos( x − 2 y) ，当 4 p x = ，y = p ， 4 p dx = ，dy = p 时的全微分 。 2 (4 7 ) 8 （ p p − ） 例 1 计算函数 x y z = e 在点(2,1) 处的全微分. 2 . 2 2 dz = e dx + e dy 例3 求函数 ln( ) 2 u = x y + z 的全微分