§7.5隐函数的求导法则 一元函数微分学中隐函数求导回顾 本节讨论问题 1)方程在什么条件下才能确定隐函数. 例如，方程2+√少+C=0 当C<0时，能确定隐函数； 当C>0时，不能确定隐函数； 2)在方程能确定隐函数时，研究其连续性、可微 性及求导方法问题·
§7.5 隐函数的求导法则 一元函数微分学中隐函数求导回顾 本节讨论问题 1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 . 例如, 方程 当 C < 0 时, 能确定隐函数; 当 C > 0 时, 不能确定隐函数; 2) 在方程能确定隐函数时, 研究其连续性、可微 性及求导方法问题
定理1.设函数F(x,y)在点P(x,y,的某一邻域内满足 ①具有连续的偏导数： ②F(x0,y0)=0; ③F,(x,y0)≠0 则方程F(x,y)=0在点的某邻域内可唯一确定一个 单值连续函数y=fx),满足条件yo=f(xo),并有连续 导数 dy=_ (隐函数求导公式) dx 定理证明从略，仅就求导公式推导如下：
定理1. 设函数 ( , ) 0; F x0 y0 = 则方程 单值连续函数 y = f (x) , 并有连续 d d x y y F x F = − (隐函数求导公式) ① 具有连续的偏导数; 的某邻域内可唯一确定一个 在点 的某一邻域内满足 ( , ) 0 Fy x0 y0 ② ③ 满足条件 导数 定理证明从略，仅就求导公式推导如下：
设y=f(x)为方程F(x,y)=0所确定的隐函数，则 F(x,f(x)≡0 两边对x求导 oF oF dy=0 Ox Oy dx 在(x0,)的某邻域内F,≠0 dy_ d
两边对 x 求导 y x F F x y = − d d 0 在 的某邻域内 Fy 则
若F(x,y)的二阶偏导数也都连续，则还有 二阶导数： dy-0(-E)+ x y Fx dy dx2 8x F y F dx FxxFy-Eyx Fx F EFy-FyF3( F ExxEX2-2ExExEy+ExE2 F
若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续, = 2 2 d d x y 2 y xx y yx x F F F − F F = − 3 2 2 2 y xx y xy x y y y x F F F − F F F + F F = − y x F F − ( ) y x F F y − + ( ) 2 y x y xy y y y x F F F F F F F − − − 二阶导数 : ( ) y x F F x − x y x x y d d 则还有
例1验证方程 +y=1在点(2,0)的某个领域 内能够唯一确定一个有连续导数，且当=0时y=2的 隐函数y=f(x)，并求其一、二阶导数在x=0处的 值。 例2设方程lnvr2+y严=arctan-上确定y是x的函 数，求：y
例1 验证方程 在点(2,0)的某个领域 内能够唯一确定一个有连续导数，且当x=0时y=2的 隐函数 ，并求其一、二阶导数在x=0处的 值。 2 2 1 9 4 x y + = y f x = ( ) 例2 设方程 确定y是x的函 数，求： 。 2 2 ln arctan y x y x + = y