函数、极限部分第一次习题课 内容复习： 函数的定义 函 单调性 奇偶性 函数的几种特性 有界性 周期性 数 反函数与复合函数 初等函数 定义 8-W定义 8-X定义8一6定义 极 性质 唯一性有界性 保号性 限 运算 和 差 积商
函数、极限部分第一次习题课 内容复习： 函 数 函数的定义 函数的几种特性 反函数与复合函数 初等函数 单调性 奇偶性 有界性 周期性 极 限 定义 −N 定义 − X 定义 − 定义 性质 唯一性 有界性 保号性 运算 和 差 积 商
一、习题中的问题 1.(p10EX1-1)讨论函数的奇偶性并求反函数 y=lg(x+√x2+1) 2.下列函数是否为初等函数？为什么？ 2 x≤0 -1x ②= x<0 x>0 x≠0 X
一、习题中的问题 1. (p10 EX1-1) 讨论函数的奇偶性并求反函数 2 y x x = + + lg( 1) x 0 − = 1, 0 1, 0 (2) ( ) x x f x , 2 x x = O x y 1 −1 ⑵ 2. 下列函数是否为初等函数 ? 为什么 ? − = , 0 , 0 (1) ( ) x x x x f x 2 = x
-{会：-3+{ x<1 x>1 =3+x-1x≠1 3) 4 x-1 以上各函数都是初等函数
+ − = 1 , 0 1 , 0 (4) ( ) 3 3 x x x x f x = 4, 1 2, 1 (3) ( ) x x f x x y O 4 2 1 ⑶ − = + 1, 1 1, 1 3 x x 1 ( 1) 3 2 − − = + x x 1 , 6 = − x x 1 xR 以上各函数都是初等函数
3.证明： (1)函数f(x)在L上有界的充分必要条件是：函数 在L上既有上界又有下界。 (2)limf(x)=A台1imf(x)=A且limf(x)=A. X+00 (3)limf(x)=A台limf(x)=A且limf(x)=A. x-→X0 x→X0 x→x0 4.用8-X或8-8语言，写出下列各式的定义： (1)lim f(x)=3 (2) lim f(x)=-1 X-00 (3)lim f(x)=b (4) lim f(x)=-8 x->a x)3
3. 证明： （1）函数 在I上有界的充分必要条件是：函数 在I上既有上界又有下界。 （2） （3） f x( ) lim ( ) lim ( ) lim ( ) . x x x f x A f x A f x A → →− →+ = = = 且 0 0 0 lim ( ) lim ( ) lim ( ) . x x x x x x f x A f x A f x A → → → − + = = = 且 − X − lim ( ) 3 x f x →− = lim ( ) 1 x f x → = − lim ( ) x a f x b → + = 3 lim ( ) 8 x f x → − = − 4．用 或 语言，写出下列各式的定义： （2） （3） （4） （1）
5.根据函数极限的定义证明： 1.lim 5=3 3x+ 2. lim x2-4 x→0X x→-2X+2 6.设函数f(x)有界，又Iimg(x)=0,证明： lim f(x)g(x)=0 X>0
5．根据函数极限的定义证明： 3 5 lim 3 x x → x + = 2 2 4 lim 4 x 2 x →− x − = − + 1. 2. f x( ) lim ( ) 0 x g x → = lim ( ) ( ) 0 x f x g x → = 6．设函数 有界，又 ，证明：