§7.5多元函数的极值及其求法 本节讨论如下三个问题 一、多元函数的极值 二、最值应用问题 三、条件极值
§7.5 多元函数的极值及其求法 本节讨论如下三个问题 一、多元函数的极值 二、最值应用问题 三、条件极值
一、多元函数的极值 定义：若函数z=f(x,y)在点(x,y,)的某邻域内有 f(x,y)≤f(xo,yo)(或f(x,y)≥f(xo,yo) 则称函数在该点取得极大值（极小值）.极大值和极小值 统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点， 例如： z=3x2+4y2在点(0,0)有极小值 z=-Vx2+y2在点(0.0)有极大值， z=xy在点(0,0)无极值
x y z 一、多元函数的极值 例如 : 在点 (0,0) 有极小值; 在点 (0,0) 有极大值; 在点 (0,0) 无极值. x y z x y z 定义: 若函数 的某邻域内有 则称函数在该点取得极大值(极小值).极大值和极小值 统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点. 0 0 在点( , ) x y
定理1（必要条件）函数z=f(x,y)在点(xo,y0)存在 偏导数，且在该点取得极值，则有 f(xo,)=0,f,(x,%)=0 证：因z=f(x,)在点(xo,o)取得极值，故 z=∫(x,yo)在x=xo取得极值 z=f(xo,y)在y=yo取得极值 据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立， 说明：使偏导数都为0的点称为驻点. 但驻点不一定是极值点， 例如，z=xy有驻点(0,0)，但在该点不取极值
说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 . 例如, 定理1 (必要条件) 函数 偏导数, 证: 据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立. 0 0 0 0 ( , ) 0 , ( , ) 0 x y f x y f x y = = 取得极值 , 取得极值 取得极值 但驻点不一定是极值点. 有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值. 且在该点取得极值 , 则有 存在 故
定理2（充分条件）若函数z=f(x,y)在点(x,) 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数，且 fx(x0,0)=0,f,(x0,0)=0 A=fxx(xo,yo),B=fxy(xo,Y0),C=fyy(xo,Yo) A<0时取极大值： 则：1)当AC-B2>0时，具有极值 A>0时取极小值 2)当AC-B2<0时，没有极值 3)当AC-B2=0时，不能确定，需另行讨论
时, 具有极值 定理2(充分条件)若函数 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且 令 则: 1) 当 A<0 时取极大值; A>0 时取极小值. 2) 当 3) 当 时, 没有极值. 时, 不能确定 , 需另行讨论. 0 0 z f x y x y = ( , ) ( , ) 在点 ( , ) 0 , ( , ) 0 f x x0 y0 = f y x0 y0 = ( , ) , ( , ) , ( , ) 0 0 0 0 0 0 A f x y B f x y C f x y = xx = x y = y y 0 2 AC − B 0 2 AC − B 0 2 AC − B =
例4求f(x,y)=x2+5y2-6x+10y+6的极值。 例5讨论函数f(x,y)=x2+xy是否存在极值。 求函数z=(x,y)的极值步骤如下： 1、解方程组 ,(K)=0’求得函数所有驻点： f(x,y)=0 2、对于每个驻点求得二阶偏导数值A、B和C; 3、定出AC-B的符号，据定理2得出结论
例4 求 f x y x y x y ( , ) 5 6 10 6 = + − + + 2 2 的极值。 例5 讨论函数 f x y x xy ( , ) = +2 是否存在极值。 求函数 z f x y = ( , ) 的极值步骤如下： 1、解方程组 ，求得函数所有驻点； ( , ) 0 ( , ) 0 x y f x y f x y = = 2、对于每个驻点求得二阶偏导数值 A、B 和 C； 3、定出 AC B− 2 的符号，据定理2得出结论