§7.5多元函数的极值及其求法 上次课内容复习： 1、极值的定义； 2、函数取得极值的必要条件； 3、函数取得极值的充分条件； 4、求解函数极值的三个步骤； 5、求解函数最值的基本步骤
§7.5 多元函数的极值及其求法 1、极值的定义； 2、函数取得极值的必要条件； 3、函数取得极值的充分条件； 4、求解函数极值的三个步骤； 5、求解函数最值的基本步骤。 上次课内容复习：
三、条件极值 无条件极值：对自变量只有定义域限制 极值问题 条件极值：对自变量除定义域限制外， 还有其它条件限制 条件极值的求法： 方法1代入法.例如， 在条件p(x,y)=0下，求函数z=f(x,y)的极值 整从条件6x,)=0中解出y=w() 求一元函数z=f(x,W(x)的无条件极值问题
三、条件极值 极值问题 无条件极值: 条件极值 : 条件极值的求法: 方法1 代入法. 求一元函数 的无条件极值问题 对自变量只有定义域限制 对自变量除定义域限制外, 还有其它条件限制 例如 , 转 化 在条件(x, y) = 0下, 求函数 z = f (x, y)的极值 从条件(x, y) = 0中解出 y =(x) z = f (x,(x))
方法2拉格朗日乘数法.例如， 在条件p(x,y)=0下，求函数z=f(x,y)的极值 如方法1所述，设p(x,y)=0可确定隐函数y=yW(x), 则问题等价于一元函数z=f(x,W(x)的极值问题，故 极值点必满足 d=fx+fy dx =0 d 因 y=_9 Px-0 dx ,故有fx-y 记 Px Py
在条件(x, y) = 0下, 方法2 拉格朗日乘数法. 如方法1所述 , 则问题等价于一元函数 可确定隐函数 的极值问题, 极值点必满足 设 记 求函数 z = f (x, y)的极值. (x, y) = 0 y =(x), z = f (x,(x)) 例如, 故 0 d d d d = + = x y f f x z x y , d d y x x y 因 = − − = 0 y x x y f f y y x x f f = 故有 =−
fx+元0x=0 极值点必满足 fy+元0y=0 p(x,y)=0 引入辅助函数 L=f(x,y)+九0(x,y) L=f+2p.=0 则极值点满足： L,=∫，+元9，=0 人L2=0=0 辅助函数L称为拉格朗日(Lagrange)函数.利用拉格 朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法
引入辅助函数 辅助函数L 称为拉格朗日( Lagrange )函数.利用拉格 极值点必满足 + = 0 x x f + = 0 y y f (x, y) = 0 则极值点满足: 朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法. L f x y x y = + ( , ) ( , )
推广 拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多 个约束条件的情形 例如，求函数u=f(x,y,z)在条件p(x,y,z)=0, W(x,y,z)=0下的极值. 设L=f(x,y,z)+p(x,y,2)+2(x,y,) Lx=f+乃p+入29x=0 L,=f+八9，+九24，=0 解方程组 L=f+入p.+九2必2=0 L%,=9=0 可得到条件极 L2,==0 值的可疑点
推广 拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多 个约束条件的情形. 设 解方程组 可得到条件极 值的可疑点 . 例如, 求函数 下的极值. u = f (x, y,z) 在条件 (x, y,z) = 0, (x, y,z) = 0 1 2 L f x y z x y z x y z = + + ( , , ) ( , , ) ( , , )