《线性代数》课程教学课件（讲稿，B）§4.2 齐次线性方程组

二、基础解系及其求法 由于方程组(4-5)的所有解，对于加法和数乘运算构 一个向量空间，也称为方程组(4-5)解空间. 下面我们来求解空间的一个最大线性无关组。 设线性方程组(4-5)系数矩阵A的秩为r,不妨假设A 的前个列向量线性无关，于是A的行最简形为 1 0b1r+1 bin 0 。 1 b I= r+l 0 0 0 0 0 。 0 0

二、基础解系及其求法 由于方程组(4-5)的所有解,对于加法和数乘运算构 一个向量空间,也称为方程组(4-5)解空间. 下面我们来求解空间的一个最大线性无关组。 设线性方程组(4-5)系数矩阵A的秩为r,不妨假设A 的前r个列向量线性无关，于是A的行最简形为 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 r n rr rn b b b b I                             

与对应的线性方程组为 +b+x41+.+bnXn=0 X,+b,4Hx41++bnx,=0 移项后可得 =-h4rr41-6nx。 (4-7) X,=-b,4X41-bnx

1 1, 1 1 1, , 1 1 , (4 7) r r n n r r r r r n n x b x b x x b x b x                   与I对应的线性方程组为 1 1, 1 1 1, , 1 1 , 0 0 r r n n r r r r r n n x b x b x x b x b x                  移项后可得

在方程组(4-7)中，给定x+1心n一组确定的数， 可惟一确定x1,x,的值，便得到方程组(4-7)的一个 解，也就是方程组(4-5)的一个解，我们把x+1xm 称为自由未知量. 令x+1xn分别取下列n-组数 Xr+l

令xr+1,.,xn分别取下列n-r组数 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 r r n x x x                                                        ， ， ， 在方程组(4-7)中，给定xr+1,.,xn一组确定的数， 可惟一确定x1 ,.,xr的值，便得到方程组(4-7)的一个 解，也就是方程组(4-5)的一个解，我们把xr+1,.,xn 称为自由未知量

由(4-7)依次可得 X 从而得到(4-7)也就是(4-5)的-r个解 -b1,+1 -b1,r+2 b1, . 一b,r+2 5= 1 52= 0 5m-,= 0 0 1 0 . 0 0 1

1 1, 1 , 1 r r r r x b x b                            ， 1, 2 , 2 r r r b b               ， 1, , n r n b b             ， 由(4-7)依次可得 . 从而得到(4-7)也就是(4-5)的n-r个解 1, 1 , 1 1 1 0 0 r r r b b                               ， 1, 2 , 2 2 0 1 0 r r r b b                               ， 1, , 0 0 1 n r n n r b b                             

下面证明5,52，5m-,是解空间的一个基 首先由于 Xr+2 所取的n-个n-r维向量 Xn 7 0 0 1 0 线性无关

1 2 , , , n r    下面证明   是解空间的一个基 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 r r n x x n r n r x                                                         首先由于 所取的 个 维向量 ， ， ， 线性无关