第囚节实对榜短库的对角化
复习 1、定义设A、B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P, 使得PAP=B,则称B是A的相似矩阵，或者说矩阵 A与B相似. 记作：A∽B. 对A进行运算P-AP,称为对A进行相似变换， 可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵. 2性质 (1) 反身性：A∽A; (2) 对称性：A∽B, 则B∽A; (3)传递性： AB,BpC,则A刀C;
一、复习 1、定义 设Ａ、Ｂ都是ｎ阶矩阵，若有可逆矩阵Ｐ， 使得 1 P AP B, − = 则称Ｂ是Ａ的相似矩阵，或者说矩阵 Ａ与Ｂ相似． 对Ａ进行运算 P AP −1 , 称为对Ａ进行相似变换， 可逆矩阵Ｐ称为把Ａ变成Ｂ的相似变换矩阵． 记作： Ａ∽Ｂ． 2、性质 （1） 反身性： （2） 对称性： （3） 传递性： Ａ∽Ａ； Ａ∽Ｂ，则Ｂ∽Ａ； Ａ∽Ｂ，Ｂ∽Ｃ，则Ａ∽Ｃ；
4) ADB,则R(A)=R(B) (5)A∽B,则A=B (6)A∽B,且A可逆，则A1∽B 定理 若n阶矩阵A与B相似，则A与B有相同的特征 多项式，从而A与B有相同的特征值. 推论 若n阶矩阵A与对角矩阵 Λ=dig(乙1,22，.，2n)= 相似，则入1，几2，.，2n就是A的n个特征值
（4）Ａ∽Ｂ，则 R A R B ( ) = ( ) （5）Ａ∽Ｂ，则 A B = （6）Ａ∽Ｂ，且Ａ可逆，则 1 1 A B − − ∽ 定理 若ｎ阶矩阵Ａ与Ｂ相似，则Ａ与Ｂ有相同的特征 多项式，从而Ａ与Ｂ有相同的特征值． 推论 若ｎ阶矩阵Ａ与对角矩阵 1 2 1 2 ( , , , ) n n diag = = 相似， 1 2 , , , 则 n 就是Ａ的ｎ个特征值．
(7) A刀B,则4"Bm (8)AnB,则A的多项式p(A)∽p(B) 特别若有可逆矩阵P使PAP=人，则A=PAP1 p(A)=Pp(Λ)P-1. 而对对角阵个有 2 p(2) Λ= p(22) ,p(A)= p(2n) 这样可以方便地计算A的多项式p(A)
1 , k K A P P− = 1 ( ) ( ) . A P P− = 而对对角阵 有 若有可逆矩阵Ｐ使 则 （8）Ａ∽Ｂ，则Ａ的多项式 特别 ( A B ) ∽ ( ) 1 P AP , − = 1 1 2 2 ( ) ( ) , ( ) , ( ) k k k k n n = = 这样可以方便地计算Ａ的多项式 ( ). A （7）Ａ∽Ｂ，则 m m A B ∽
一、对称矩阵的性质 说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说 。 明，均指实对称矩阵 引理5.4.1对称矩阵的特征值为实数. 证明设复数2为对称矩阵A的特征值，复向量x为 对应的特征向量， 即 Ac=2x,x≠0. () 用入表示的共轭复数，表示x的共轭复向量， 则 Ax=Ax=(Ax)=(x)=元x (2）
引理5.4.1 对称矩阵的特征值为实数. 证明 , , 对应的特征向量 设复数为对称矩阵A的特征值 复向量x为 即 , 0. 1 Ax x x = ( ) 用 表示的 共轭复数 , 则 Ax = Ax = = = ( Ax x x ) ( ) . 2( ) 一、对称矩阵的性质 说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说 明，均指实对称矩阵． x表示x的共轭复向量