第一首向量的内积 一肉积的定义和性质 二向量的长度与类角 三正交向量组 四应用举剑 五正交矩阵与正交变换
内积的定义与性质 1、定义5.1.1 01 b 设n维实向量a= ,B= 称实数 b ab+,b,+.+anbn为向量a与的内积，记作[a,β]. 注：内积是向量的一种运算，用矩阵形式表示，有 b [a,B]=(a14.an) =a'B. b
一、内积的定义与性质 1、定义5.1.1 设ｎ维实向量 称实数 1 1 2 2 , , n n a b a b a b = = , . 1 1 2 2 n n a b a b a b + + + 为向量α与β的内积，记作 注：内积是向量的一种运算，用矩阵形式表示，有 ( ) 1 2 1 2 . n n b b a a a b = =
2、性质 (1)对称性：[a,B]=[B,a] (2)线性性：[a+B,y]=[,y]+[B,y] [ka,B]=k[a,B] (3)正定性：[a,a]≥0，当且仅当a≠0时a,a]>0. 二、向量的长度 1、长度的概念 令la=[a,a]=Va,2+a,2+.an为n维向量a 的长度（模或范数). 特别长度为1的向量称为单位向量
２、性质 （1）对称性： （2）线性性： （3）正定性： １、长度的概念 , , = + = + , , , k k , , = , 0, 当且仅当 0 时 , 0. 二、向量的长度 2 2 2 1 2 , n 令 = = + + a a a 为ｎ维向量α 的长度（模或范数）. 特别 长度为１的向量称为单位向量
2、性质 （1)正定（非负）性：a≥0；且a=0台a=0: (2)齐次性： Ika=k-al; (3)三角不等式： la+≤a+B 注①当a≠0时，a°= 、 a a是a的单位向量. ②由非零向量a得到单位向量a= 的过程 称为把单位化或标准化. a9
（1）正定(非负)性： （2）齐次性： （3）三角不等式： ２、性质 = = 0; 0 0 且 ； k k = ; + + ; 注 ①当 0 时， ②由非零向量α得到单位向量 是α的单位向量. 0 1 = 0 1 = 称为把α单位化或标准化. 的过程
三、正交向量组 1、正交 当[a,B]=0,称与征交 注①若α=0，则a与任何向量都正交， 2、正交组 若向量组中的向量两两正交，且均为非零向量，则 这个向量组称为正交向量组，简称正交组， 3、标准正交组 由单位向量组成的正交组称为标准正交组
三、正交向量组 1、正交 当 , 0 = ，称α与β正交. 注 ① 若 = 0 ，则α与任何向量都正交. 2、正交组 若向量组中的向量两两正交，且均为非零向量，则 这个向量组称为正交向量组，简称正交组. 3、标准正交组 由单位向量组成的正交组称为标准正交组