《线性代数》课程教学课件（讲稿，B）§4.3 非齐次线性方程组

§4.3非齐次线性方程组 一、非齐次线性方程组解的性质 二、非齐次线性方程组的通解

§4.3 非齐次线性方程组 一、非齐次线性方程组解的性质 二、非齐次线性方程组的通解

·、非齐次线性方程组解的性质 1.对于非齐次线性方程组(4-1) 11X1+12X2+.+41mXn=b1, 21七1+22X2+.+42mXn=b2,， amx+am2x2+.+amnxn =bm 012 1n 022 . 令A= X2 D, ,X= ,b= Qn2

一、非齐次线性方程组解的性质 1.对于非齐次线性方程组(4-1) 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 , , n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b                  11 12 1 1 1 21 22 2 2 2 1 2 , , n n n n mn n m a a a x b a a a x b A x b a a a x b                                                 令

则线性方程组(4-1)可记为Ax=b. 齐次线性方程组(4-5) 41X1+a12X2+.+41mXn=0, 021x1+22X2+.+42mxn=0, m1+0m2七2+.+0mmXn=0. 可记为Ax=0. 我们把方程组(4-5)称为与方程组(4-1)对应的 齐次线性方程组

则线性方程组(4-1)可记为Ax=b. 齐次线性方程组(4-5) 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0, 0 0. n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x                  ， 可记为Ax=0. 我们把方程组(4-5)称为与方程组(4-1)对应的 齐次线性方程组

2.则非齐次线性方程组(4-1)的解有下面性质 性质4.3.1设x=7和x=7,是方程组(4-1)的解，则x=71 -72是对应的齐次线性方程组(4-5)的解 证明 .A1=b,A72=b ∴.A(71-72)=b-b=0. 即x=η1-72满足方程Ax=0. 性质4.3.2设x=7是方程组(4-1)的解，x=是方程组 (4-2)的解，则x=7+5是方程组(4-1)的解

2.则非齐次线性方程组(4-1)的解有下面性质 证明   0.  A 1 2  b  b  0. 即x 1 2满足方程Ax   A1  b, A2  b (4 2) , (4 1) . 4.3.2 (4 1) , 的解 则 是方程组 的解 性质 设 是方程组 的解 是方程组            x x x - (4 5) . 4.3.1 (4 1) , 2 1 2 1 是对应的齐次线性方程组 的解 性质 设 和 是方程组 的解 则       x  x  x 

证明A(5+n)=A5+An=0+b=b, 所以x=5+η是方程Ax=b的解 二、非齐次线性方程组的通解 由性质4.3.1知(4-1)的任一解x总可以表示为 x=5+n 其中5是(4-5)的解，n是(4-1)的一个解。 又若方程组(4-5)的通解为 5=k51+k52+.+k,5n 则方程组(4-1)的任意解总可以表示为

证明 A   A  A  0  b  b, 所以x    是方程 Ax  b的解. 二、非齐次线性方程组的通解 由性质4.3.1知 (4-1)的任一解x总可以表示为 * * (4 5) (4 1) x       其中 是   的解， 是 的一个解. 又若方程组(4-5)的通解为 1 1 2 2 n r n r     k k k      则方程组(4-1)的任意解总可以表示为