《线性代数》课程教学课件（讲稿，B）§4.2 齐次线性方程组

§4.2齐次线性方程组 一、齐次线性方程组的性质 二、基础解系及其求法 三、小结

§4.2 齐次线性方程组 一、齐次线性方程组的性质 二、基础解系及其求法 三、小结

一、齐次线性方程组解的性质 设有齐次线性方程组 1比1+012X2+.+1mXn=0 21k1+022X2+.+42mXn=0 (4-5) ml火1+0m2七2+.+AmnXn=0 11 12 若记A= 21 22 Q2n X2 ,X= (m2 Amn n

设有齐次线性方程组                    0 0 0 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 m m mn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x     若记 （4-5） 一、齐次线性方程组解的性质 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 , n n m m mn n a a a x a a a x A x a a a x                          

则上述方程组(4-5)可写成向量方程 Ax=0 (4-6) 若x1,x2,.,x为方程(4-5)的解，则 X2 xX= Xn 为方程(4-6)的解向量，也就是方程 (4-5)的解向量

则上述方程组（4-5）可写成向量方程 Ax   0 (4 6) 1 2 1 2 , , , (4 5) (4 6) (4 5) n n x x x x x x x                 若 为方程 的解，则 为方程 的解向量，也就是方程 的解向量

性质4.2.1两个解向量的和仍然是解向量，即 设5,5，是方程组(4-5)的解向量，则5+5也 是方程组(4-5)的解向量. 证明只需证明5+52满足方程组(4-6)即可 .A51=0,A52=0 ∴.A(51+52)=A51+A52=0 故x=51+52也是Ac=0的解

1 2 1 2 , (4 5 4.2. ) (4 5 1 )        两个解向量的和仍然是解向量，即 设 是方程组 的解向量， 性质 则 也 是方程组 的解向量. 证明  A 1   2   A 1  A 2  0  A 1  0, A 2  0 故 x 也是Ax 0的解.   1   2  只需证明  1 2 + 满足方程组(4 6)  即可

性质4.2.2一个解向量的倍数仍是解向量，即 设5是方程组(4-5)的解向量，是任意数， 则5也是方程组(4-5)的解向量. 证明A(25)=九A(5)=0=0. ∴.入5也是方程组(4-5)的解向量 由性质4.2.1、4.2.2知，齐次线性方程组(4-5)的 解向量的线性组合仍是(4-5)的解向量. 设51,52，5n,是方程组(4-5)的解向量，1,2，.2n 是任意数，则25+入，52+.+元n-,5m,仍是方程组 (4-5)的解向量

(4 5) (4 5 . .2 ) 4 2       一个解向量的倍数仍是解向量，即 设 是方程组 的解向量， 是任意数， 则 性质 也是方程组 的解向量. 证明 A A     1 1       0 0.   也是方程组(4 5)的解向量 由性质4.2.1、4.2.2知，齐次线性方程组(4-5)的 解向量的线性组合仍是(4-5)的解向量 . 1 2 1 2 1 1 2 2 , , , (4 5) , , (4 5) n r n r n r n r                       设 是方程组 的解向量， 是任意数，则 仍是方程组 的解向量