第二草非赛炎线性交程组 一非齐次线性方程组解的性质 二应用养例 兰小绻 上页 返回
非齐次线性方程组解的性质 1、非齐次线性方程组 411X1+012X2+.+41mxm=b1 a21x1+22x2+.+02mxn=b2 (1) amix+am2x2++amnxn=bm L12 若记 A= Azi 22 @2n x= ,b= 则上述方程组(1)可写成向量方程 Ax=b
１、非齐次线性方程组 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + = + + + = + + + = 若记 （1） 一、非齐次线性方程组解的性质 11 12 1 21 22 2 1 2 , n n m m mn a a a a a a A a a a = 1 2 , n x x x x = 则上述方程组（1）可写成向量方程 Ax b = . 1 2 m b b b b =
非齐次方程组Ax=b对应的齐次方程组Ax=0 称为该非齐次方程组的导出组. 2、非齐次线性方程组解的性质 (1若7，x2=为Ax的解，则 x=71-72 是其导出组Ax的解. (2)若x为A的解，x=η为Ax的解， 则x=5+n也是x=的解 (3)若71,72，7，都为Ax的解，则 71+72+.+7, 也是x=的解 S
（2）若 x = 为 Ax 的解， = 0 x = 为 Ax b = 的解， ２、非齐次线性方程组解的性质 （1）若 x x 1 1 2 2 = = , 为 Ax b 的解，则 = 1 2 x = − 是其导出组 Ax = 的解 0 . 非齐次方程组 称为该非齐次方程组的导出组. Ax b = Ax = 0 则 x = + 也是 Ax b = 的解． 也是 Ax b = 的解． （3）若 1 2 , , , s 都为 的解，则 1 2 s s + + + Ax b = 对应的齐次方程组
3、非齐次线性方程组的通解 非齐次线性方程组Ax=的通解为 x=k151+k252+.+kn5m,+n. 其中k15,+k252+.+kn,5m-,为其导出组的通解 ”为非齐次线性方程组的任意一个特解 4、非齐次线性方程组有解的几个等价命题 线性方程组Ax有解，则以下命题等价： 台向量b可由向量组a1,a2,.,a线性表示. →向量组c1,c2,.,Qn与向量组a1,a2,.,0n,b等价 台R(c,c,an)=R(a,a,an,b】
其中 k k k 1 1 2 2 + + + n r n r − − 为其导出组的通解， ３、非齐次线性方程组的通解 非齐次线性方程组 Ax b = 的通解为 1 1 2 2 . n r n r x k k k = + + + + − − 为非齐次线性方程组的任意一个特解. ４、非齐次线性方程组有解的几个等价命题 = R R b ( 1 2 1 2 , , , , , , , n n ) ( ) 线性方程组 Ax = 有解，则以下命题等价： b 1 2 , , , 向量ｂ可由向量组 n 线性表示. 1 2 , , , 向量组 n 与向量组 等价. 1 2 , , , , n b
定理设元非齐次线性方程组的系数矩阵为A,增广 矩阵为B,则 1)线性方程组Ax有唯一解一R(A)=R(B)=n 2)线性方程组Ax有无穷解 →R(A=R(B)<n 3)线性方程组Ax无解 R(A)≠R(B) 回
设ｎ元非齐次线性方程组的系数矩阵为Ａ，增广 １）线性方程组 Ax 有唯一解 = b = = R A R B n ( ) ( ) 定理 矩阵为Ｂ，则 ２）线性方程组 Ax 有无穷解 = b = R A R B n ( ) ( ) ３）线性方程组 Ax = 无解 b R A R B ( ) ( )