《线性代数》课程教学课件（讲稿，B）向量组的线性相关性

§2.3 向量组的线性相关性 一、线性组合 二、线性相关和线性无关 三、向量组的等价 四、向量组的最大无关组和秩 五、向量空间的基与向量的坐标

§2.3 向量组的线性相关性 一、线性组合 二、线性相关和线性无关 三、向量组的等价 四、向量组的最大无关组和秩 五、向量空间的基与向量的坐标

一、线性组合 在向量线性运算的基础上，讨论向量之间的关系. 1.定义2.3.1对于向量a1,必2，am和，若存在m 个数入1，几2，.，m,使得： a=1a41+22+.+2mam 则称a是，2，am的线性组合，1,2，·，n称 为组合系数。 或者称向量a可由向量组a,%2,am线性表示 说明：()零向量是任何一组向量组的线性组合

一、线性组合 在向量线性运算的基础上,讨论向量之间的关系. 1.定义2.3.1 对于向量1 ,2 ,., m和，若存在m 个数1 ,2 ,. ,m ，使得：  = 11 + 22 + .+ mm 则称是1 ,2 ,.,m的线性组合，1 ,2 ,. ,m 称 为组合系数。 说明：(1)零向量是任何一组向量组的线性组合 . 或者称向量可由向量组1 ,2 ,.,m 线性表示

例1设n维向量 61=(1,0,.,0) e2=(0,1,.,0) En=(0,0,1) a=(41,42,un)是任意一个n维向量，由于 a=(a1,a2,.,an)=461+a2E2+a383+.+an8m 通常称61,62，6n为n维单位坐标向量组. (2)任一n维向量可由维单位坐标向量组c1,62,.,6n 线性表示出来

1 2 1 2 1 (1,0, ,0) (0,1, ,0) (0,0, ,1) ( , , , ) n n n a a a n             例 设 维向量 是任意一个 维向量，由于 通常称 1 2 , , , n     为n维单位坐标向量组. . (2) , , , 1 2 线性表示出来 任一n维向量 可由维单位坐标向量组 n      n n n   a a  a  a   a   a   a  1 2 1 1 2 2 3 3 ( , , , )

2.向量a能否由向量组1，.，m线性表出可转化 为线性方程组有没有韵问题 x a+xaz+.+xa=B 0,= j=1,2,.,n a x+a2x2++aunxn=b b a2X1+0222++a2nXn=b2 b B= am+am22+amxn =bm bm」

(*) 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1                    m m mn n m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b     x x x 1 1 2 2        n n 1 2 1,2, , j j j mj a a j n a                  1 2 m b b b                . 2. , , 1 为线性方程组有没有解的问题 向 量能否由向量组   m 线性表出可转化

(①)B可由向量组，a2.αn线性表示一线性方程组() 有解 (2)B不能由向量%，a2.n线性表示一线性方程组(*) 无解 3.一般地，B与4,02，.，0m的关系为下列三种情况之一 (1)阿由%，.，am线性表示，且表示法唯一。 (2)B阿由4，Cn线性表示，但表示法不唯一。 (3)B不能由4，.，&m线性表示

(3)不能由1 ， , m 线性表示。 (2)可由1 ， , m 线性表示，但表示法不唯一。 (1)可由1 ， , m 线性表示，且表示法唯一。 3.一般地,与1 ,2 ,  , m 的关系为下列三种情况之一 . (1) , (*) 1 2 有解 可由向量组  n 线性表示  线性方程组 . (2) , (*) 1 2 无解 不能由向量  n 线性表示  线性方程组