第二草交阵的持征值与持征向量 一特征值与特征向量 二特征值和特征向量的幽质 三应周举例 四小结
课前复习 1、内积 [a,B]=aB=ab+abz+.+a,b 2、长度 lal=V[a,a个]=Va2+a,2+.an 3、正交 [&,B]=0 5、施密特（Schmidt)正交化法 6、正交矩阵AA=E(即A=) 内积不变 正交变换的优良特性：长度不变 夹角不变
课前复习 １、内积 1 1 2 2 . n n , = = + + + a b a b a b ２、长度 2 2 2 1 2 , n = = + + a a a 3、正交 , 0 = ５、施密特（Schmidt）正交化法 ６、正交矩阵 ( ) 1 A A E A A , − = = 即 正交变换的优良特性： 内积不变 夹角不变 长度不变
一、} 特征值与特征向量的概念 定义A为n阶方阵，为数，5为n维非零向量 若 Ax=Ax （1) 则称为A的特征值，x称为A的特征向量 。 注① 特征向量x≠0，特征值问题只针对与方阵： ② 入，x并不一定唯一； ③ 阶方阵A的特征值，就是使齐次线性方程组 (2E-A)x=0有非零解的值，即满足 2E-A=0 的都是方阵A的特征值. 定义； 称以为未知数的一元n次方程2E-A=0 为A的特征方程
一、特征值与特征向量的概念 定义 Ａ为ｎ阶方阵，λ为数， 为ｎ维非零向量， 若 Ax x = 则λ称为Ａ的特征值， x 称为Ａ的特征向量． （１） 注 ② , x 并不一定唯一； ③ ｎ阶方阵Ａ的特征值，就是使齐次线性方程组 ① 特征向量 x 0 ，特征值问题只针对与方阵； (E A x − = ) 0 有非零解的λ值，即满足 的λ都是方阵Ａ的特征值． E A − = 0 定义 称以λ为未知数的一元ｎ次方程 E A − = 0 为Ａ的特征方程．
定义称以为变量的一元n次多项式f4（2)=2E-A 为A的特征多项式 定理设n阶方阵A=(a)的特征值为入，12，元。 则(1①)22.元n=A; (2)元1+2+.+九n=41+22+.+0nn 证明①当21，几2，.，2，是A的特征值时，A的特征多项 式可分解为f(2)=2E-A=（2-)(2-2).(2-n) =元”-(21+2+.+2)2"-1+.+(-1)”12.n 令2=0，得仁A=（-1)22.2 即22.n=A
( ) A 定义 称以λ为变量的一元ｎ次多项式 f E A = − 为Ａ的特征多项式． 1 2 11 22 (2) ; n nn + + + = + + + a a a 1 2 (1) ; n = A 定理 设ｎ阶方阵 A a = ( ij) 的特征值为 1 2 , , , n 则 证明① 当 1 2 , , , n 是Ａ的特征值时，Ａ的特征多项 式可分解为 f E A ( ) = − = − − − ( 1 2 )( ) ( n ) ( ) ( ) 1 1 2 1 2 1 n n n n n − = − + + + + + − 令 = 0, 得 −A ( ) 1 2 1 n = − n 即 1 2 . n = A
证明②因为行列式 2-011 一l12 一1n 2E-A= 一L21 2-022 一l2n : -Qn2 A-ann 它的展开式中，主对角线上元素的乘积 (2-a)(2-2z)(2-anm） 是其中的一项，由行列式的定义，展开式中的其它项至 多含·2个主对角线上的元素，因此，特征多项式中 含入”与入-的项只能在主对角线上元素的乘积项中 故有2E-A=见”-(4+2+.+am)1+.+ 比较①，有21十九2+.+九n=411+22++0
证明② 因为行列式 它的展开式中，主对角线上元素的乘积 ( − − − a a a 11 22 )( ) ( nn ) E A− 是其中的一项，由行列式的定义，展开式中的其它项至 多含ｎ－２个主对角线上的元素， 含 n n 与 −1 的项只能在主对角线上元素的乘积项中． ( ) 1 11 22 n n E A a a ann − 故有 − = − + + + + + 比较①，有 1 2 11 22 . n nn + + + = + + + a a a 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a a a a − − − − − − = − − − 因此，特征多项式中