第四章线性方程组 一.线性方程组解的判别 二.齐次线性方程组 三.非齐次线性方程组
第四章 线性方程组 一. 线性方程组解的判别 二. 齐次线性方程组 三. 非齐次线性方程组
第一节 线性方程组解的判别 11x1+012x2+.+41nxn=b1 L21X1+022x2+.+a2mxn=b2 (1) amix1+am2x2++amxn =bm 11 121n 若记A= L21 L22 ,X= b= Aml 0m2 则上述方程组可写成矩阵方程 Ax=b. 当b=0时，称为齐次线性方程组，否则称为非齐次线性 方程组
第一节 线性方程组解的判别 设线性方程组 + + + = + + + = + + + = m m mn n m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 若记 , 1 2 21 22 2 11 12 1 = m m mn n n a a a a a a a a a A , 2 1 = n x x x x 则上述方程组可写成矩阵方程 Ax = b. , 2 1 = bm b b b 当b=0时, 称为齐次线性方程组, 否则称为非齐次线性 方程组. (1)
11 L12 b 称矩阵A=(A,b)= L21 L22 b 为方程组(1)的增广矩阵。 当b=0(i=1,2,.,m)时，齐次线性方程组 L11x1 412x2 ainx = 0 21X1 十 22X2 0 (2) amx am2X2 0 称为方程组(1)的导出组 或称为(1)对应的齐次线性方程组
称矩阵 为方程组(1)的增广矩阵。 称为方程组（1）的导出组， 或称为（1）对应的齐次线性方程组。 当 0 ( 1,2, , ) i b i m = = 时,齐次线性方程组 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 (2) 0 n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x + + + = + + + = + + + = ( , ) , 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 = = m m mn m n n b b b a a a a a a a a a A A b
对一个方程组进行初等变换，实际上就是对它的增 广矩阵做初等行变换 ERT 4=(A,b) > S12 S1,r+1 t 0 S22 Sir S2,r+1 S2n 化为行阶 梯形矩阵 0 0. r+1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 区回
对一个方程组进行初等变换，实际上就是对它的增 广矩阵做初等行变换 ERT A = (A, b) → 11 12 1 1, 1 1 1 22 1 2, 1 2 2 , 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r r n r r n rr r r rn r r s s s s s t s s s s t s s s t t + + + + ⎯⎯→ 化为行阶 梯形矩阵
1 0. 0 C1,+1 Cin d 0 1. 0 C2r+1 d, 化为行最 简形矩阵 0 0. 1 d, 3) 0 0 0 0 0 d 0 0. 0 0 0 0 : 0 0. 0 0 0 则以矩阵(3)为增广矩阵的方程组与方程组(1)同解
则以矩阵(3)为增广矩阵的方程组与方程组(1)同解。 1, 1 1 1 2, 1 2 2 , 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 (3) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r n r n r r rn r r c c d c c d c c d d + + + + ⎯⎯→ 化为行最 简形矩阵