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第二节 齐线性方程组
二、 齐次线性方程组解的性质 1、 解向量设有齐次线性方程组 011x1+412x2+.+1mXn=0 L21x1+2X2+.+L2mXn=0 (1) mlxi+m2x2+.+AmXn=0 11 12 若记A= L21 L22 a2n x= m2 则上述方程组(1)可写成矩阵方程Ax=0. 返回
１、解向量 设有齐次线性方程组 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 0 n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x + + + = + + + = + + + = 若记 （1） 一、齐次线性方程组解的性质 11 12 1 21 22 2 1 2 , n n m m mn a a a a a a A a a a = = n x x x x 2 1 则上述方程组（1）可写成矩阵方程 Ax = 0
若x1=51,x2=51,.,xn=5n1 使得方程x=成立， 主主王王王王王 5 则 51 x= 称为方程组（1)的解向量 它也就是矩阵方程Ax=0的解. 齐次线性方程组解的性质 (1若51，x2=约Ax的解，则 x=51+52 也是Ax的解， (2)若x1为的解， 为实数，则 x=kg 也是x=的解 易知，方程组的全体解向量构成一个向量空间 称此向量空间为齐次线性方程组Ax 0的解空间
1 11 2 21 1 , , , n n 若 x x x = = = 11 21 n1 x = 称为方程组（1）的解向量， ２、齐次线性方程组解的性质 （1）若 x x 1 1 2 2 = = , 为 Ax 的解，则 = 0 x = 1 + 2 也是 Ax = 的解 0 . （2）若 x1 1 = 为 Ax 的解， = 0 为实数，则 k x = k 1 也是 Ax = 的解． 0 称此向量空间为齐次线性方程组 Ax = 0的解空间． 易知，方程组的全体解向量构成一个向量空间， 则 使得方程 Ax = 0 成立， 它也就是矩阵方程 Ax = 0 的解．
解空间的基础解系及其求法 1、基础解系的定义 设51,52，.，5m-,是AX=0的解，满足 (1)51,52,.,5m,线性无关 (2)Ax=0的任一解都可以由51,52，.，5m, 线性表示。 则称51,52，5n,是A化=0的一个基础解系。 如果51,52，.，5，为齐次线性方程组Ax=0的 基础解系，则方程组Ax=0的通解可表示为： 王王王 x=k151+k252+.+k,5) 其中k1,k2,.,k,为任意实数
二、解空间的基础解系及其求法 设 1 2 , , , n r − 是 AX = 0 的解，满足 1 2 1 , , , n r （ ） − 线性无关； （2 0 ）Ax = 的任一解都可以由 1 2 , , , n r − 线性表示。 则称 1 2 , , , n r − 是 Ax = 0 的一个基础解系。 １、基础解系的定义 基础解系，则方程组 Ax = 0 的通解可表示为： 如果 1 2 , , , s 为齐次线性方程组 Ax = 0 的 1 1 2 2 , s s x k k k = + + + 其中 为任意实数. 1 2 , , , s k k k
2、 求基础解系的步骤： 1、 对系数矩阵A进行初等变换，将其化为最简形 1 0-b1 00 1 A~ -br br.n . 0 . . 0 则 R(A)=r 上页
11 1, 1 , 1 0 - - 0 1 - - ~ 0 0 0 0 n r r r n r b b b b A − − １、对系数矩阵Ａ进行初等变换，将其化为最简形 R(A) = r 2、求基础解系的步骤: 则