第三节相似矩晖
方阵的相似 定义5.3.1：设A,B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵 P,使 PAP=B 则称B是A的相似矩阵，或说矩阵A与B相似， 对A进行运算PAP,称为对A进行相似变换， 可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵
一、方阵的相似 1 P AP B − = 定义5.3.1: 设A,B都是n阶矩阵,若有可逆矩阵 则称B是A的相似矩阵, 或说矩阵A与B相似, 对A进行运算 , 称为对A进行相似变换, 可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵. P,使 1 P AP −
4.P-(k A+k2A)P=k P-A P+k2 P-AP 其中k1,k,是任意常数 定理I若n阶矩阵A与B相似，则A与B的特征多项 式相同从而A与B的特征值亦相同 证明A与B相似 →可逆阵P,使得P-AP=B .B-AE=P-AP-P(E)P =P-1(A-E)P =P-A-E P =A-E
证明 A与B相似 B E P AP P (E)P −1 −1 − = − = P (A − E)P −1 = P A− E P −1 = A − E . P (k A k A )P k P A P k P A2P 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 4. − − − + = + , . 其中k1 k2是任意常数 P P AP = B −1 可逆阵 ,使得 , . 1 , 式相同 从 而 与 的特征值亦相同 定 理 若 阶矩阵 与 相 似 则 与 的特征多项 A B n A B A B
推论1若n阶方阵A与对角阵 相似，则2,22，2即是A的n个特征值 思考： 1、阶方阵A满足什么条件会与对角阵A=diag(21, 22,.,元n)相似 2.如何求方阵A与对角阵A相似的相似变换矩阵P
推论1 若 n 阶方阵A与对角阵 = n 2 1 , , , , . 相似 则1 2 n即是A的n个特征值 思考： 1、n阶方阵A满足什么条件会与对角阵=diag(1 , 2 ,···, n )相似, 2. 如何求方阵A与对角阵相似的相似变换矩阵P