第三为 第五章 定积分的换无法和 分部积分洁 不定积分 换元积分法 换元积分法 定积分 分部积分法 (分部积分法 定积分的换元法 二、定积分的分部积分法 OOo⊙08
二、定积分的分部积分法 第三节 不定积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、定积分的换元法 换元积分法 分部积分法 定积分 换元积分法 分部积分法 定积分的换元法和 分部积分法 第五章
一、 定积分的换元法 定理1.设函数f(x)∈C[a,b],单值函数x=p(t)满足 1)o(t)ECla,B],p(a)=a,(B)=b; 2)在[C,B]上a≤p(t)≤b, 则 [f(xdx=[fI(()dr 证：所证等式两边被积函数都连续，因此积分都存在 且它们的原函数也存在.设F(x)是f(x)的一个原函数， 则F[p(t)]是f[p(t)]p(t)的原函数，因此有 f(x)dx=F(b)-F(a)=Flp(B)]-FIp(a)] =∫f[ot)]o'()di
一、定积分的换元法 定理1. 设函数 单值函数 满足: 1) ( ) [ , ], 1 t C 2) 在 [ , ] 上 () = a,() = b; (t) (t) 证: 所证等式两边被积函数都连续, 因此积分都存在 , 且它们的原函数也存在 . 则 是 的原函数 , 因此有 = F(b) − F(a) = F[()] − F[()] (t) (t) (t) (t) (t) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则
ffx)dr=∫fIpt】]p'dt 说明： 1)当B<a,即区间换为[B,]时，定理1仍成立 2)必需注意换元必换限，原函数中的变量不必代回 3)换元公式也可反过来使用，即 fIo0)lo'0di=∫f(x)dx(令x=p) 或配元fLp()lp')dt=f八()]dgp( 配元不换限 o0o0 机无
说明: 1) 当 < , 即区间换为 [ ,]时， 定理 1 仍成立 . 2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 . 3) 换元公式也可反过来使用 , 即 f x x (令x =(t)) b a ( )d = 或配元 (t) d(t) 配元不换限 (t) (t) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (t) (t) (t) (t)
例1.计算Va2-x2d(a>0) 解：令x=asint,则dx=acostdt,且 当x=0时，t=0;x=a时，t= 原武-=a2情cos2di "yy=va2-x2 -750+cos20d1 a x ma) 4
例1. 计算 解: 令 x = asint, 则 dx = acost dt , 当x = 0时, t = 0; , . 2 x = a 时 t = ∴ 原式 = 2 a t t a (1 cos 2 )d 2 2 0 2 = + sin 2 ) 2 1 ( 2 2 t t a = + 0 2 2 0 cos t dt 2 2 2 y = a − x o x y a 机动 目录 上页 下页 返回 结束 且
计 _dx. 解：令1=2x+1.则x-2,dx=1d,且 2 当x=0时，t=1;x=4时，t=3. -2e2+3)d 3 OO▣⊙⊙8
例2. 计算 解: 令 t = 2x +1, 则 , d d , 2 1 2 x t t t x = − = 当x = 0时, x = 4时, t = 3. ∴ 原式 = t t t t d 3 2 1 2 1 2 + − (t 3)dt 2 1 3 1 2 = + 3 ) 3 1 ( 2 1 3 = t + t 1 3 t =1; 机动 目录 上页 下页 返回 结束 且