北京化工大学：《线性代数》课程教学资源（试卷习题）《线性代数》第4章习题解答

《线性代数》第四章习题解答 1,求下列各矩阵的特征值和特征向量 o (2) C3 110 (200 (3)021 (4)031 003 013 s48 (110-1 (6) 11-10 4-8-2 0-111 -1011 解E-428-5+6-2-) A的特征值为1=2，入=3 断A*:-00 两R-(:格证肉为kR化0 当ae侣)-6司 得片-()·特证向量为n化0 ow-4a-a A的特征值为X1=a,入2=a 当助E。-0 -0 特征向量为kPk≠0) 1

《线性代数》第四章习题解答 1 1．求下列各矩阵的特征值和特征向量 （1）         − 2 4 1 1 （2）         0 0 a a （3）           0 0 3 0 2 1 1 1 0 （4）           0 1 3 0 3 1 2 0 0 （5）           − − − − 4 8 2 4 1 0 3 1 0 （6）               − − − − 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 解 （1） E − A = 2 4 1 1 − − −   = 5 6 2  −  + =(  − 2 )(  −3 ) A 的特征值为λ1=2，λ2=3 当λ1=2 时，λ1E-A=         − 2 − 2 1 1 →         0 0 1 1 得         − = 1 1 P1 ，特征向量为 k1P1 (k1≠0) 当λ2=2 时，λ2E-A=         − 2 −1 2 1 →         0 0 2 1 得         − = 2 1 P2 ，特征向量为 k2P2 (k2≠0) （2） E − A =   a a − − = ( − a)( + a) A 的特征值为λ1=a，λ2=-a 当λ1=a 时，λ1E-A=         − − a a a a →         − 0 0 1 1 得         = 1 1 P1 ，特征向量为 k1P1 (k1≠0)

《线性代数》第四章习题解答 ae日-6 得男-：特有务通化0 2-1-10 (3)E-=0元-2-1=(2-)（元-2(1-3） 001-3 A的特征值为入1=1，入2=2，N=3, 0-10）010 当X1=1时，E-A=0-1-1 -001 (00-2000 1) 得B=0,特征向量为kP(k≠0) (0 1-101-10 当2时，EA00-1-001 00-1000 1 得B=1,特征向量为kP,(k0) 2-10 当入=3时，入E-A=01-1 000 1Y 得乃=2，特征向量为kP3(k2≠0) (2 -20 0 (4)E-=0元-3-1=(2-2)2(-4) 0-11-3 A的特征值为X1=2(二重)，入2=4， 2

《线性代数》第四章习题解答 2 当λ2= −a 时，λ2E-A=         − − − − a a a a →         0 0 1 1 得         − = 1 1 P2 ，特征向量为 k2P2 (k2≠0) （3） E − A = 0 0 3 0 2 1 1 1 0 − − − − −    = ( −1) (  − 2 )(  −3 ) A 的特征值为λ1=1 ,λ2=2，λ3=3 , 当λ1=1 时，λ1E-A=           − − − − 0 0 2 0 1 1 0 1 0 →           0 0 0 0 0 1 0 1 0 得           = 0 0 1 P1 ，特征向量为 k1P1 (k1≠0) 当λ2=2 时，λ2E-A=           − − − 0 0 1 0 0 1 1 1 0 →           − 0 0 0 0 0 1 1 1 0 得           = 0 1 1 P2 ，特征向量为 k2P2 (k2≠0) 当λ3=3 时，λ3E-A=           − − 0 0 0 0 1 1 2 1 0 得           = 2 2 1 P3 ，特征向量为 k3P3 (k2≠0) （4） E − A = 0 1 3 0 3 1 2 0 0 − − − − −    = ( 2) ( 4) 2  −  − A 的特征值为λ1=2 (二重) ,λ2=4

《线性代数》第四章习题解答 (0 特征向量为kP1+kP(k1,k不全为零) - 200）100 当=4时，E-A=01-1一01-1 0-11000 得乃=1，特征向量为kPk≠0) -3-10 (5)2E-A=41+10=(元+22-)2 -48元+2 A的特征值为11=-2，入2=l(仁重)， (-5-10100 当12时，E-A4-10一010 -480000 (0 得R= 特征向量为kP(k1≠0) 860 当X=1时，XEA420 0103 -483000 (3 得= 6 特征向量为kP(k≠0) 20

《线性代数》第四章习题解答 3 当λ1=2 时，λ1E-A=           − − − − 0 1 1 0 1 1 0 0 0 →           0 0 0 0 0 0 0 1 1 得           = 0 0 1 P1 ，           − = 1 1 0 P2 ， 特征向量为 k1P1+k2P2 (k1,k2 不全为零) 当λ2=4 时，λ2E-A=           − − 0 1 1 0 1 1 2 0 0 →           − 0 0 0 0 1 1 1 0 0 得           = 1 1 0 P3 ，特征向量为 k3P3 (k3≠0) （5） E − A = 4 8 2 4 1 0 3 1 0 − + + − −    = 2 ( + 2)( −1) A 的特征值为λ1=-2，λ2=1(二重) , 当λ1=-2 时，λ1E-A=           − − − − 4 8 0 4 1 0 5 1 0 →           0 0 0 0 1 0 1 0 0 得           = 1 0 0 P1 ， 特征向量为 k1P1 (k1≠0) 当λ2=1 时，λ2E-A=           − − − 4 8 3 4 2 0 2 1 0 →           0 0 0 0 10 3 2 1 0 得           = − 20 6 3 P2 ，特征向量为 k2P2 (k2≠0)

《线性代数》第四章习题解答 2-1-10 -1-1 (6)E-A= 0 1 -1 1 1 0 -11-1 =(0-1)2(a+10-3) A的特征值为A1=-1,入=1（二重），入=3 (-2-101 当X1=-1时，XE-A -1-210 01-2-1 10-1-2 10-1-2 01-2-1 0011 (0000 1 -1 得P= -1 特征向量为kP(k1≠0) 1 0-101 10-10 当入=1时，XE-A= -101 -01 0 1 0 -1 0000 0 1 0 000 0 0 1 得B P= 特征向量为kP2+kP (k,k不全为零) 2-101 (10-12 当3时， -121 0 012- X3E-A 012-1 001 1 0-12 000 0

《线性代数》第四章习题解答 4 （6） E − A = 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 − − − − − − − −     = ( 1) ( 1)( 3) 2  −  +  − A 的特征值为λ1=-1，λ2=1(二重) , λ3=3 当λ1=-1 时，λ1E-A=               − − − − − − − − 1 0 1 2 0 1 2 1 1 2 1 0 2 1 0 1 →               − − − − 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 2 1 1 0 1 2 得               − − = 1 1 1 1 P1 ， 特征向量为 k1P1 (k1≠0) 当λ2=1 时，λ1E-A=               − − − − 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 →               − − 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 得               = 0 1 0 1 P2 ，               = 1 0 1 0 P3 特征向量为 k2P2+k3P3 (k2 , k3 不全为零) 当λ3=3 时，λ3E-A=               − − − − 1 0 1 2 0 1 2 1 1 2 1 0 2 1 0 1 →               − − − 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 2 1 1 0 1 2

《线性代数》第四章习题解答 (-1 -1 得P= 特征向量为kP,(k≠0) 1 2.设A可逆，a是A属于特征值入的特征向量，证明为A的伴随矩阵A'的特征值，且a也是A 的属于的特征向量。 证：由己知Aa=x。a,a≠0，A=4A 知Aa=a 所以Aa=44a=4a，得证。 3.设P1,B2是A的属于不同特征值X,X:的特征向量，试证aP,+bP2(b≠0)不是A的特征向量。 证：已知AP=XP,AP,=XP,若aP+bP是A的属于X的特征向量，即 A(aP:+bP2)=A(aP:+bP2) A(aP:+bP2)=AaP:+A2bPz 从而（.)aP1+(X.bP2=0 得入=入=X:,与X,X:互异矛盾，命题得证。 4.若a是A的属于特征值x。的特征向量，证明，对于多项式入)，入)是fA)的特征值，并且a是fA) 的属于特征值入，)的特征向量。 证：已知Aa=X,a,则Aa=g 设f入)）=a入+a-1入++a入+o f(A)a =anA'+an-1A++aAtao a=(antam-atao)a =f(A.)a 命题得证。 5.已知入。是A的一个特征值，求A+2A-E的一个特征值。 解.有习题四知，λ。是A的一个特征值，则 X=入2+2。-1是f(A)=A2+2A-E的一个特征值 6.设A满足下列条件之一，试求A的特征值。 (1)A=A(称A为幂等矩阵)片 (2)A=E(称A为对合矩阵)。 解(1)设Aa=人a,a≠0，则A2a=x2a,且A2a=Aa=入a, 所以(x2入)ā=0，因为a≠0，则12入=0得A的特征值为x=0或A=1。 (2)设Aa=Aa,a≠0，则A2a=λ2a,且A2a=Ea=a, 所以(31)a=0,因为a≠0，则21=0,即(-)(+)=0 得A的特征值为入=1或入=-1

《线性代数》第四章习题解答 5 得               − − = 1 1 1 1 P4 ， 特征向量为 k4P4 (k4≠0) 2．设 A 可逆，α是 A 属于特征值λ0 的特征向量，证明 0 A 为 A 的伴随矩阵 A*的特征值，且α也是 A* 的属于 0 A 的特征向量。 证： 由已知 Aα=λ0α , α≠0, A* = −1 A A 知 A-1α=   0 1 所以 A*α= −1 A A α= 0 A α ， 得证。 3．设 P1 , P2 是 A 的属于不同特征值λ1,λ2 的特征向量，试证 aP1+bP2 (ab≠0)不是 A 的特征向量。 证： 已知 AP1=λ1P1 , AP2=λ2P2 若 aP1+bP2 是 A 的属于λ的特征向量，即 A (aP1+bP2)= λ(aP1+bP2) 又 A (aP1+bP2)= λ1aP1+λ2bP2 从而 (λ-λ1)aP1+(λ-λ2)bP2=0 得 λ=λ1=λ2 ，与λ1,λ2 互异矛盾，命题得证。 4. 若α是 A 的属于特征值λ0 的特征向量，证明，对于多项式 f(λ), f(λ0)是 f(A)的特征值，并且α是 f(A) 的属于特征值 f(λ0)的特征向量。 证：已知 Aα=λ0α， 则 Amα=λ0 mα 设 f(λ)=anλn +an-1λn-1 +…+a1λ+a0 则 f(A)α=anA n +an-1A n-1 +…+a1A+a0α= (anλ0 n +an-1λ0 n-1 +…+a1λ0+a0)α = f(λ0)α 命题得证。 5．已知λ0 是 A 的一个特征值，求 A 2 +2A-E 的一个特征值。 解. 有习题四知，λ0 是 A 的一个特征值，则 f(λ0)= λ0 2 +2λ0-1 是 f(A)=A2 +2A-E 的一个特征值。 6. 设 A 满足下列条件之一，试求 A 的特征值。 （1） A 2 =A（称 A 为幂等矩阵）； （2） A 2 =E（称 A 为对合矩阵）。 解.（1）设 Aα=λα , α≠0, 则 A2α=λ2α , 且 A2α=Aα=λα, 所以 （λ2 -λ）α=0 ，因为 α≠0，则 λ 2 -λ=0 得 A 的特征值为λ=0 或λ=1 。 （2） 设 Aα=λα ,α≠0, 则 A2α=λ2α ,且 A2α=Eα=α, 所以 （λ2 -1）α=0 ，因为 α≠0， 则 λ 2 -1=0,即(λ-1)(λ+1)=0 得 A 的特征值为λ=1 或λ=-1