北京化工大学：《线性代数》课程教学资源（试卷习题）《线性代数》第3章习题解答.doc

《线性代数》第三章习题解答 -1- 1．已知向量： 1 1 2 [5, 1,3,2,4] ,3 4 [3, 7,17, 2,8] , T T    = − − = − − 求 2 3   1 2 + 解: ∵ 2 1 {[3, 7,17, 2,8] [15, 3,9,6,12] } 4 T T  = − − − − − 1 [ 12, 4,8, 8, 4] [3,1, 2, 2,1] 4 T T = − − − − − = − ∴ 2 3 [10, 2,6,4,8] [9,3, 6,6,3] 1 2 [19,1,0,10,11] T T T   + = − + − = 2.设 1 2 [2,5,1,3] , [10,1,5,10] , T T   = = 3 1 2 3 [4,1, 1,1] , 3( ) 2( ) 5( ) 0 T        = − − + + − + = 并且求  解: ∵ 6 3 2 5     = + − 1 2 3 [6,15,3,9] [20,2,10,20] [20,5, 5,5] [6,12,18,24] , T T T T = + − − = ∴ [1,2,3,4] . T  = 3.判断下列命题是否正确，为什么？ (1)如果当 k k k 1 2 = = = = m 0时， k k k 1 1 2 2    + + + = m m 0 成立，则向量组 1 2 , ,    m 线性相关解：不正确.如： 1 2 1,2 , 3,4    T T   = = ，虽然 0 0 0,   1 2 + = 但 1 2  , 线性无关。 (2) 如果存在 m 个不全为零的数 1 2 , , , , m k k k 使 1 1 2 2 0, m m k k k    + + +  则向量组 1 2 , , ,    m 线性无关。解：不正确. 如 1 1 1 2 1,2 , 2,4 , 1, 2,    T T   = = = = 存在k 使 k     1 2 1 2 +  2 0, , . 但显然线性相关 (3) 如果向量组 1 2 , , ,    m线性无关,则其中任何一个向量都不能由其余向量线性表出. 解：正确。（反证）如果组中有一个向量可由其余向量线性表示，则向量组 1 2 , , ,    m 线性相关，与题没矛盾。 (4) 如果向量组 1 2 3    , , 线性相关，则 3 一定可由 1 2  , 线性表示。解：不正确。例如： 1 2 3 0,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1 ,      T T T    = = = 向量组 1 2 3    , , 线性相关，但 3 不能由 1 2  , 线性表示。 (5) 如果向量  可由向量 1 2 3    , , 线性表示，即： 1 1 2 2 3 3     = + + k k k , 则表示系数 1 2 3 k k k , , 不全为零。解：不正确。例如： 0,0,0 , 1,0,0 , 0,1,0 ,  1 2     T T T    = = = 3 1 2 3 0,0,1 , 0 0 0  T      = = + + ，表示系数全为 0。 (6) 若向量 1 2  , 线性相关， 1 2  , 线性无关，则 1 2 1 2     , , , 线性相关. 解：正确。因 1 2  , 线性相关，即存在不全为零的数 1 2 k k, , 使 k k k 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2       + = + + + = 0, 0 0 0 从而k . 因 1 2 k k, ,0,0 不全为零，所以 1 2 1 2     , , , 线性相关。 4.判断向量  能否由向量组 1 2 3 4     , , , 线性表示，若能，写出它的一种表示方式。 (1) 1,1,2,2 , 1,1,0,0 , 2,2,0,0 ,  1 2     T T T    = = = 3 0,0,1,1 T  = ， 4 0,0, 1, 1 T  = − − 解：显然       = + = + − 1 3 1 3 4 2 (2) 1, 2,5 , 1,1,1 , 1,2,3 ,  1 2     T T T    = − = = 3 2, 1,1 T  = − ， 4 0,0,0 .  T  = 解：设 1 1 2 2 3 3        = + + , 得到方程组 1 2 3 2 2 3 3 2 3 2 1 2 5 3 5 x x x x x x x x x  + + =   + − =   + + = 对方程组的增广矩阵作初等行变换，得到： 2 1 1 2 3 1 3 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 0 5 4 1 2 1 2 0 1 3 3 0 1 3 3 2 1 3 1 5 0 2 1 4 0 0 5 10 r r r r A r r r r       − −       = − − − − − −       − −             − 2 3 1 5 3 2 3 1 0 5 4 1 0 0 6 5 0 1 3 3 0 1 0 3 3 0 0 1 2 0 0 1 2 r r r r r     − −     − −     +         故 x x x 1 2 3 = − = = 6, 3, 2,  = − + + +      6 3 2 0 . 1 2 3 4

《线性代数》第三章习愿解答 (3)B=[12,34,a=[l,1,2,2,a2=[1,0,0,0 k+k(a1+凸)+k(a+色2+4)=0 43=[-1,-2,-2,-2],44=[2,0,0,0 即(k+k2+k34+(k1+k)a2+k必1=0 解：设B=X么+X心+龙43+X,心，对该方程组的增广矩阵作初等行变 4,,a线性无关，k+k3+k=0, 换得到： k+k=0, 「11-1217 「0112-17 k3=0, 万-5 1- 10-202 10-202 :系数行列式 5-2 20=203 00201 11 20-204 4-200200 4=011=1≠0，：上方程组只有零解「0112-17 00 10-202 =B k=k=k=0,从而向量组4,4+必，4++4线性无关. 4-00201 7,判断下列向量组是否线性相关，若线性相关，试找出其中一个向量，使这个向量可 0000-1 由其余向量线性表示，并写出它的一种表示方式。因阶梯形矩阵B所对应的方程组中存在矛盾方程，故方程组无解。 (1a=1,-2,4,8,=1,39,27, B不能由a以，，4，a,线性表示 43=[1,4,1664,&=[1,-1,l,- 4B=[5,-2,-2,0,%=[1,1,2,3,42=[1,2,-3, 解：以a,乌2，，a为列向量作矩阵A=[4,C乌2,4，心]，作初等行变换得到： 4=[1,-l,-l,2a4=[1,4,-5,1. [1111 「1111] 「0561] 解：设B=X1+X2凸2+X3+Xa:,对该方程组的增广矩阵作初等变换得到 -234-1 5+ -1450 A= -1450+5 「11115]「10001] 49161 5-385o+ 020300 12-14-2 01002 -82764-1+-728650-7@00300 2-3-1-5-2 →00103 显然R()=4,向量a4,2,4,心线性无关 312110」0001-1 ②)a4=-210,342=[1-324, =1,32=2,3=3,x4=-1,B=4+2%+33-4 a4=[3,0,2.-l,a=[2,-2,4,6 5.证明：如果n维单位坐标向量组6,62，…，6n可由n维向量组4，乌，"，线性表解：令A=[凸，，心，心对A作初等行变换，得到：示，则向量组4，凸，…，a,线性相关. 「-21327 「0-5 3 -2 To 34 0 34 证：向量组a,乌，，a也可由6,6，，6线性表示 0 5+2r .向量组%，a2,…,gn与向量组6,52，，6n等价，所以向量组a,乌2，…，心n的秩为n, M= 1-30-25+251-3 -2 0 0224-302 2 5+3r 0 28 0 28 所以线性无关。 34-16 013 -1 12 13 -1 12 6.若向量组，2，3线性无关，证明：向量组，么+心2,+乌+也线性无关证：设有常数k,k2,k,使

《线性代数》第三章习题解答 -2- (3) 1,2,3,4 , 1,1,2,2 , 1,0,0,0 ,  1 2     T T T    = = = 3 4  1, 2, 2, 2 , 2,0,0,0 .    T T   = − − − − = 解: 设          = + + + 1 1 2 2 3 3 4 4 ，对该方程组的增广矩阵作初等行变换得到： 1 2 3 2 4 2 1 1 1 2 1 0 1 1 2 1 1 0 2 0 2 1 0 2 0 2 2 2 0 2 0 3 0 0 2 0 1 2 2 0 2 0 4 0 0 2 0 0 r r A r r r r     − − −     − − = −         −     −     − 4 3 0 1 1 2 1 1 0 2 0 2 0 0 2 0 1 0 0 0 0 1 r r B   −   − − =         − 因阶梯形矩阵 B 所对应的方程组中存在矛盾方程，故方程组无解。 1 2 3 4      不能由线性表示 , , , . (4) 5, 2, 2,0 , 1,1,2,3 , 1,2, 3,1 ,  1 2     T T T    = − − = = − 3 4 1, 1, 1,2 , 1,4, 5,11 .    T T   = − − = − 解：设          = + + + 1 1 2 2 3 3 4 4 ，对该方程组的增广矩阵作初等变换得到： 1 1 1 1 5 1 0 0 0 1 1 2 1 4 2 0 1 0 0 2 2 3 1 5 2 0 0 1 0 3 3 1 2 11 0 0 0 0 1 1 A         − − = →         − − − −         −  = = = = − = + + − x x x x 1 2 3 4 1 2 3 4 1, 2 , 3, 1, 2 3      5. 证明：如果 n 维单位坐标向量组 1 2 , , , n    可由 n 维向量组 1 2 , , ,   n 线性表示，则向量组 1 2 , , ,   n 线性相关。证： 1 2 1 2 , , , , , , 向量组也可由线性表示       n n ,  向量组 1 2 , , ,   n 与向量组 1 2 , , , n    等价，所以向量组 1 2 , , ,   n 的秩为 n，所以线性无关。 6. 若向量组 1 2 3    , , 线性无关，证明：向量组 1 1 2 1 2 3       , , + + + 也线性无关。证：设有常数 1 2 3 k k k , , , 使 1 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 3 1 2 3 1 2 3 2 3 3 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 , , 0, 0, 0, 1 1 1 0 1 1 1 0, . 0 0 1 k k k k k k k k k k k k k k k             + + + + + = + + + + + =  + + = + = =  = =   即线性无关，系数行列式上方程组只有零解 k k k 1 2 3 1 1 2 1 2 3 = = = + + + 0, , , 从而向量组线性无关.       7. 判断下列向量组是否线性相关，若线性相关，试找出其中一个向量，使这个向量可由其余向量线性表示，并写出它的一种表示方式。 (1) 1 2 1, 2,4,8 , 1,3,9,27 ,    T T   = − = 3 4 1,4,16,64 , 1, 1,1, 1 .    T T   = = − − 解：以 1 2 3 4     , , , 为列向量作矩阵 A =     1 2 3 4 , , , , 作初等行变换得到： 2 1 1 2 3 1 3 2 4 1 4 2 1 1 1 1 1 1 1 1 0 5 6 1 2 3 4 1 1 4 5 0 1 4 5 0 3 4 9 16 1 3 8 15 0 0 20 30 0 7 8 27 64 1 7 28 65 0 0 0 30 0 r r r r A r r r r r r r r       + +       − − − − = − +                   + −       − − − 显然 1 2 3 4 R A( ) 4, , , , = 向量线性无关.     (2) 1 2  2,1,0,3 , 1, 3,2,4 ,    T T   = − = − 3 4 3,0,2, 1 , 2, 2,4,6 .    T T   = − = − 解：令 A =     1 2 3 4 , , , , 对 A 作初等行变换，得到： 1 2 3 4 4 2 1 3 2 1 3 2 0 5 3 2 0 34 0 34 1 3 0 2 1 3 0 2 1 3 0 2 2 2 0 2 2 4 3 0 2 2 4 3 0 28 0 28 3 4 1 6 0 13 1 12 0 13 1 12 r r r r A r r r r       − − −       − − − − − − + + =             − +             − − −

《线性代数》第三章习题解答 -3- 2 1 3 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 3 0 2 1 0 0 1 3 0 13 1 12 0 0 1 1 13 0 0 0 0 0 0 0 0 r r B r r         − − + → =         − − +         故 R(A)=R(B)=3. 1 2 3 4     , , , 线性相关。且由 4 1 2 3 B可知，    = + + . (3) 1 2 3 3, 1,2 , 1,5, 7 , 7, 13,20 .      T T T    = − = − = − 解：令 A =    1 2 3 , , , 解方程组 AX=0，其中 X=  1 2 3 , ,  T    ,对系数矩阵 A 作初等行变换得到： 1 2 3 1 2 1 16 1 3 2 2 3 1 7 0 16 32 0 1 2 3 1 5 13 1 5 13 1 5 13 2 2 7 20 0 3 6 0 1 2 1 r r r A r r r r       − − +       = − − − − −       +             − − − −  2 1 3 1 0 1 2 5 1 0 3 0 0 0 r r B r r   − +   = −       由 B 得同解方程组 1 3 3 2 3 3 , 1 , 3,2,1 , 2   T      = − = = − = 取得X − + + = = − 3 0, 3 2       1 2 3 3 1 2 , 1 2 3 4     , , , 线性相关。 (4) 1 2 3 1,2,1,1 , 1,1,2, 1 , 3,4,5,1 .      T T T    = = − = 解：令 A =    1 2 3 , , , 对 A 作初等行变换得到： 2 1 3 2 3 1 4 2 4 1 1 1 3 1 1 3 1 1 3 2 2 1 4 0 1 2 0 1 2 1 2 5 0 1 2 0 0 0 2 1 1 1 0 2 2 0 0 2 r r r r A r r B r r r r       −       − − − − + = − =             −       −       − − − ∴R(A)=R(B)=3 , 1 2 3    , , 线性无关。 8. 求下列向量组的秩，并求出一个极大无关组。 (1) 1 2 3 4, 1, 5, 6 , 1, 3, 4, 7 , 1,2,1,3 ,      T T T    = − − − = − − − = 4 2,1, 1,0 T  = − 解：令 A =     1 2 3 4 , , , , 对 A 作初等行变换，得到： 1 2 3 2 4 1 1 2 6 7 3 0 6 7 3 0 1 3 2 1 1 3 2 1 1 3 2 1 2 5 4 1 1 6 7 3 0 0 0 0 0 6 7 3 0 6 7 3 0 0 0 0 0 r r A B r r       − −       − − − − − − − = → =             − − − − − +             − − − ∴ R(A)=R(B)=2 , 向量组的秩为 2, 1 2  , 是一个极大无关组。 (2) 1 2 3 1,0,0,0 , 3,0,0,0 , 0,1,0,0 ,      T T T    = = = 4 0,0,1,1 .  T  = 解： 1 2  , 线性相关， 1 2 3 4     , , , 线性相关。而 1 3 4    , , 线性无关。∴向量组的秩是 3。 1 3 4    , , 是一个极大无关组。 (3) 1 2 3 4 1,0,1 , 2,1,0 , 0,1,1 , 1,1,1        T T T T     = = = = 解：令 A =     1 2 3 4 , , , , 对 A 作初等行变换，得到： 3 1 1 2 0 1 1 2 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 2 1 0 A r r B         = − =             − 显然 R(A)=R(B)=3. 向量组的秩是 3,并且 1 2 3    , , 是向量组的一个极大无关组。 (3) 1 2 3 1,2,3,4 , 2,3,4,5 , 3,4,5,6 ,      T T T    = = = 4 4,5,6,7 .  T  = 解：令 A =     1 2 3 4 , , , , 对 A 作初等行变换，得到： 2 1 3 1 4 1 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 2 3 4 5 0 1 2 3 0 1 2 3 3 3 4 5 6 0 2 4 6 0 0 0 0 4 4 5 6 7 0 3 6 9 0 0 0 0 r r A r r B r r       −       − − − = − → =             − − −       −       − − − 显然 R(A)=R(B)=2. 向量组的秩是 2 , 并且 1 2  , 是一个极大无关组。 9. 设向量组 1 2 3    , , 线性无关，       = + + 1 1 2 2 3 3 ，证明： (1) 当 3 = 0 时， 1 2    , , 线性相关； (2) 当 3  0 时， 1 2    , , 线性无关证明： (1)当 3 = 0 时，     = + 1 1 2 2 ， 1 2    , , 线性相关。 (3) 当 3  0 时，设有常数 1 2 3 x x x , , ，使

《线性代数》第三章习愿解答 %+%+xB=0, 向量组4，凸2，…，a,B线性相关，故B一定可由必，凸，…，即+xa+(3+2x)吗2+r43=0. 线性表示。 a1a2,43线性无关，二充分性：若任一n维向量均可由向量组4,2，…，a。线性表示，则n维单位坐标出+2x3=0 向量组6,62，…，6n可由么，，…，an线性表示，又a,心2，，an可由马，，…，6n线性表 x2+2x3=0, 示，向量组a,必2，…，么与向量组6,62,6n等价，“向量组a,42,…,么的秩是n, x323=0. 么，必，…，a线性无关。 ,≠0.3=0，进而x=2=0∴4，a2,线性无关 13.试证：若向量组%，凸，，a,与向量组凸，凸2，…，么，B有相同的秩 10.设月=0%+2，则B可由%，，，区线性表示。月=4-2，证明：向量组月，月，B,线性相关证：设向量组4,2，…，心，的秩为「，不失一般性，设4，，…，a,(1≤)为向量组月=24-42， 4,凸，，a的极大无关组，则a4,2,,,与4，凸，a,等价，依圈设向量组证：们若凸1，，线性无关，设有常数，2，， 4,,,心，B的秩也为片，故a,心，…，，也是4，凸，…，心，B的极大无关组，B可使x月+x民+xB=0,即由么，4，，，线性表示，进而，可由4，马，…，a,线性表示. (角+为+23)4+（年--x)2=0 14设1,2，，4是互不相同的r个非零实数，r≤n,证明：因a,%线性无关，5+书+2=0 因方程组一定有非零 )向量组么=[，了 x-2-x3=0 解，二B,民，B线性相关。 4=[4…4], (的若4,2线性相关，不妨设%=k%,于是线性无关。「民=(1+k)8, a,=[42,4, 月=1-k)4，由此可知，月，B,B线性相关。 (2)任一r维向量都可由a,必，，a,线性表示. B=(2-k)a, 证：令A=[a,必，…，a],则A的前r行元素组成的r阶子式 a1=[l0,…,0,a' h3… 111…1 42=0,l…,0a 26… 44…, 1.n个叶1维向量是否线性相关？ =6…… a,=0,0,la, 2… =44,(g-,)≠0故RA片，4，凸，，&线性无关解：？维单位坐标向量组6,62，…，6，线性无关，而无关组增添分量仍无关，∴向量组a,心2，…，位n线性无关。 (②对任一r维向量B,向量组a,凸，，4，B线性相关.而4，a,,a线性无关，一B 可由%，心2，…，C线性表示 12.设心，，"，心，是一组n维向量，证明：它们线性无关的充分必要条 15.设A为n阶方阵，%，必，，a为n维列向量，件是：任一n维向量都可由它们线性表示， ()证明：若4,4，，a线性相关，则4红，A红，，c也线惟相关证：必要性：若向量组么，，，C线性无关，则对任一n维向量B, (2) 间：若4，凸，，4线性无关，4,4奶4血，是香也线性无关，为什么？

《线性代数》第三章习题解答 -4- x x x 1 1 2 2 3    + + = 0, 1 1 3 1 2 2 3 2 3 3 3 即(x x x x x + + + + =       ) ( ) 0. 1 2 3    , , 线性无关，  1 1 3 2 2 3 3 3 0, 0, 0. x x x x x     + =   + =   =     3 3 1 2 1 2   = = =  0, 0, 0, , , . x x x 进而线性无关 10. 设 1 1 2    = + , 2 1 2 1 2 3 3 1 2 , , , 2 ,          = − = − 证明：向量组线性相关. 证： (i) 若 1 2  , 线性无关，设有常数 1 2 3 x x x , , , 使即 x x x 1 1 2 2 3 3    + + = 0 , 1 2 3 1 1 2 3 2 ( 2 ) ( ) 0 , x x x x x x + + + − − =   因 1 2  , 线性无关， 1 2 3 1 2 3 2 0 0 x x x x x x  + + =   − − = 因方程组一定有非零解， 1 2 3    , , 线性相关。 (ii) 若 1 2  , 线性相关，不妨设 2 1   = k ，于是： 1 1 2 1 3 1 (1 ) , (1 ) , (2 ) , k k k        = +   = −   = − 由此可知， 1 2 3    , , 线性相关。 11．n 个 n+1 维向量       1 1 2 2 1,0, ,0, , 0,1, ,0, , , 0,0, ,1, , T T T n n a a a     =   =    =  是否线性相关？解：∵n 维单位坐标向量组 1 2 , , , n    线性无关，而无关组增添分量仍无关，∴向量组 1 2 , , ,   n 线性无关。 12. 设 1 2 , , ,   n 是一组 n 维向量，证明：它们线性无关的充分必要条件是：任一 n 维向量都可由它们线性表示。证：必要性：若向量组 1 2 , , ,   n 线性无关，则对任一 n 维向量  ，向量组 1 2 , , , ,    n 线性相关，故  一定可由 1 2 , , ,   n 线性表示。充分性：若任一 n 维向量均可由向量组 1 2 , , ,   n 线性表示，则 n 维单位坐标向量组 1 2 , , , n    可由 1 2 , , ,   n 线性表示，又 1 2 , , ,   n 可由 1 2 , , , n    线性表示，∴向量组 1 2 , , ,   n 与向量组 1 2 , , , n    等价，∴向量组 1 2 , , ,   n 的秩是 n， ∴ 1 2 , , ,   n 线性无关。 13. 试证：若向量组 1 2 , , ,   r 与向量组 1 2 , , , ,    r 有相同的秩，则  可由 1 2 , , ,   r 线性表示。证：设向量组 1 2 , , ,   r 的秩为 r，不失一般性，设 1 2 1 , , ,   r (r1  r)为向量组 1 2 , , ,   r 的极大无关组，则 1 2 1 , , ,   r 与 1 2 , , ,   r 等价，依题设向量组 1 2 , , , ,    r 的秩也为 1 r ,故 1 2 1 , , ,   r 也是 1 2 , , , ,    r 的极大无关组，  可由 1 2 1 , , ,   r 线性表示，进而，可由 1 2 , , ,   r 线性表示。 14. 设 1 2 , , , r t t t 是互不相同的 r 个非零实数， r n  ，证明： (1) 向量组 2 1 1 1 1 , , , , T n  =   t t t   2 2 2 2 2 2 , , , , , , , , T n T n r r r r t t t t t t   =     =     线性无关. (2) 任一 r 维向量都可由 1 2 , , ,   r 线性表示. 证：令 A =    1 2 , , , , r  则 A 的前 r 行元素组成的 r 阶子式 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 r 1 1 1 r r r r r r r r r r r t t t t t t t t t t t t t t t t t t − − − = 1 2 1 r i j ( ) 0 j i r t t t t t    = −   故 R(A)=r, 1 2 , , ,   r 线性无关. (2) 对任一r 维向量  ，向量组 1 2 , , , ,    r 线性相关.而 1 2 , , ,   r 线性无关，  可由 1 2 , , ,   r 线性表示. 15. 设 A 为 n 阶方阵， 1 2 , , ,   r 为 n 维列向量， (1) 证明：若 1 2 , , ,   r 线性相关，则 1 2 , , , A A A   r 也线性相关； (2) 问：若 1 2 , , ,   r 线性无关， 1 2 , , , A A A   r 是否也线性无关，为什么？

《线性代数》第三章习愿解答咨 ()证明：若a,凸2，，心，线性相关，即存在不全为零的常数k1,人2，，人·使和为 0) k%+k2++k,a,=0.从面有： [2-a 2 4[k+k3+…+k,a]=k4+k242+…+k,4拉=0.，k,k2,…,k不全 (3)设a为实数，如果齐次线性方程组 X=0有非零解，则a=(1或 2-a 为零，4虹，红2，，缸，线性相关。 (2)红，，，A血，不一定线性无关。如当A=E,则血，42，，线性无关，若 3) A=0,则，A,,AC,线性相关。 (4)设A为n阶方阵，如果方程组AX=b有唯一解，则A一定(b,d) 16.试证：设A是n阶方阵(n≥2)，则 a.奇异b,非奇异 c.a,b都有可能d满秩 n,R(A)=n, 19.求下列方程组的一个基础解系，并用基础解系表示其通解。 )=1, R(40=n-1, ()+5x-x3-x4=0, 0,R(A)<n-. -2x3+53+3x=0 证：0若Am,则4≠0，由fA=4E,得到r=4。 3x+82-+x=0, x1-9x2+3x1+7x4=0, r=40,f)=n- 解：对方程组的系数矩阵作初等行变换得到 (间如果R(An-1,则A的列向量组a,凸，，a,线性相关，其中必有一列向量是「15-1 -17 15-1-17 组中其余向量的线性组合，不妨设： 1-213-50-724 A= 4=k,凸+k必+…+k么据行列式的性质可知，A的第2列至第n列元素的代数余 38-115-3 0-724 子式全为0，R(A)=m1,:,A的第1列元素的代数余子式中至少有一个不为0.由此得到 1-937-0-1448 的第1行元素不全为零，而第2行至第n行元素全为0，.()=1. 「15-1-1] 「1是01] (i而若AKn-,则A的m-1阶子式全为零，“A=0,R()=0. 5-5 0-子12 0-子12 (17)设有线性方程组： 5-25 00005+g0000 a+x+o=d, 若口 ≠0，问：哲0000」 0000 a+2+c,=d2 同解方程组： =-3-4 (1)系数矩阵A秩是多少？ 3=子2-2x (2)增广矩阵A的秩是多少 -] -1 (3)方程组是否有解，有多少解？ (4方程组的导出组是否有基础解系？基磁解系中含有多少个解向量？得基础解系方程组的通解！解：()RA=2.(2)R(4)=2.(3)方程组有解，有无穷多解. (4)方程组的 0 1 导出组有基础解系，基础解系中有一个解向量。 X=k及+k及，其中k,k为任意实数 18.选择和填空 (1)设A是n阶方阵，方程组AX=0有无穷多解，则方程组A4X=0, (2)-3+2x3+x4=0, (c) 2-x2+3+2x4=0 a,只有零解b有n个解c.有无穷多解d.无解 x-x3+x4=0, (2)设A,B均为n阶方阵，且A=1,则方程组AX=0与BX=0的非零解的个数之 3-+3x=0

《线性代数》第三章习题解答 -5- (1) 证明：若 1 2 , , ,   r 线性相关，即存在不全为零的常数 1 2 , , , r k k k ，使 1 1 2 2 0. r r k k k    + + + = 从而有：  1 1 2 2 1 1 2 2  0. A k k k k A k A k A       + + + = + + + = r r r r 1 2 , , , r k k k 不全为零， 1 2 , , , A A A   r 线性相关。 (2) 1 2 , , , A A A   r 不一定线性无关。如当 A=E，则 1 2 , , , A A A   r 线性无关，若 A=0，则 1 2 , , , A A A   r 线性相关。 16. 试证：设 A 是 n 阶方阵 ( 2) n  ，则 , ( ) , ( ) 1 , ( ) 1, 0 , ( ) 1. n R A n R A R A n R A n   =  = = −     − 证： (i) 若 R(A)=n，则 A  0 ，由 A A A E  = ，得到 n A A A  = ， 1 0 n A A  − =  ， R A n ( )  = . (ii) 如果 R(A)=n-1，则 A 的列向量组 1 2 , , ,   n 线性相关，其中必有一列向量是组中其余向量的线性组合，不妨设： 1 2 2 3 3 . n n     = + + + k k k 据行列式的性质可知，A 的第 2 列至第 n 列元素的代数余子式全为 0，R(A) =n-1，∴A 的第 1 列元素的代数余子式中至少有一个不为 0.由此得到 A  的第 1 行元素不全为零，而第 2 行至第 n 行元素全为 0， R A( ) 1.   = (iii) 若 R(A)<n-1，则 A 的 n-1 阶子式全为零， A 0   = ， R A( ) 0.  = (17) 设有线性方程组： 1 1 1 2 1 3 1 2 1 2 2 2 3 2 , , a x b x c x d a x b x c x d + + = + + = 若 1 1 2 2 0 a b a b  ，问： (1) 系数矩阵 A 秩是多少？ (2) 增广矩阵 A 的秩是多少？ (3) 方程组是否有解，有多少解？ (4) 方程组的导出组是否有基础解系？基础解系中含有多少个解向量？解： (1) R(A)=2. (2) R A( ) 2. = (3) 方程组有解，有无穷多解. (4) 方程组的导出组有基础解系，基础解系中有一个解向量。 18. 选择和填空 (1) 设 A 是 n 阶方阵，方程组 AX=0 有无穷多解，则方程组 0 T AA X = . (c) a . 只有零解 b .有 n 个解 c .有无穷多解 d .无解 (2) 设 A,B 均为 n 阶方阵，且 AB =1 ，则方程组 AX=0 与 BX=0 的非零解的个数之和为 (0) (3) 设 a 为实数，如果齐次线性方程组 2 2 1 0 2 2 a X a   −   =   −   有非零解，则 a = (1 或 3) (4) 设 A 为 n 阶方阵，如果方程组 AX=b 有唯一解，则 A 一定(b，d) a . 奇异 b . 非奇异 c . a，b 都有可能 d .满秩 19. 求下列方程组的一个基础解系，并用基础解系表示其通解. (1) x x x x 1 2 3 4 + − − = 5 0 , 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 0 , 3 8 0 , 9 3 7 0 , x x x x x x x x x x x x − + + = + − + = − + + = 解：对方程组的系数矩阵作初等行变换得到 2 1 3 1 4 1 1 5 1 1 1 5 1 1 1 2 1 3 0 7 2 4 3 3 8 1 1 0 7 2 4 1 9 3 7 0 14 4 8 r r A r r r r     − − − − −     − − = −         − −     −     − − 3 2 3 2 7 7 2 2 4 2 1 2 1 2 2 1 5 1 1 1 0 1 0 1 2 0 1 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r r r r r r r   − −   −     − − − +                 故同解方程组： 3 1 2 4 2 x x x = − − 7 3 2 4 2 x x x = − 2 依次取 2 4 1 0 , , 0 1 x x       =             得基础解系 3 2 1 2 7 2 1 1 0 , 2 0 1     −   −     = =         −         . 方程组的通解： X k k = + 1 1 2 2   ，其中 1 2 k k, 为任意实数. (2) x x x x 1 2 3 4 − + + = 2 0 , 1 2 3 4 1 3 4 1 2 4 2 2 0 , 0 , 3 3 0 , x x x x x x x x x x − + + = − + = − + =