北京化工大学：《线性代数》课程教学资源（试卷习题）《线性代数》第6章习题解答

《线性代数》第六章习题解答 1. 2.已知向量空间的一个基为a1=(110),a二(101)， a=(011)',试求a=(200)'在上述基下的坐标。 110 解.设a=(a1a2 aaa)月101 x; 011 11-1 &- 所以 (a a;)a= 2.验证a=(1-10)',a=(213)',a=(312)T为R3的一个基，并把 a=(507),B=(-9-8-13)用这个基线性表示. 123 解.设(aa2a4)-111 032 1123 la aa= -111=-6≠0 032 所以a,a2,a,为R的一个基。 x 设a=(a1a X2 ,B=(aa42a)2 ) 1235 (1235 由A=aa42a a -1 11 0 0 345 0327 00-22 2 得a=(a1a a;) 3 =2a1+3a2a3, 又有A=(aa2a

《线性代数》第六章习题解答 -1- 1. 2. 已知向量空间的一个基为α1=（1 1 0）T，α2=（1 0 1）T， α3=（0 1 1 ） T，试求α=（2 0 0） T 在上述基下的坐标。 解. 设α= ( ) 1  2 3           3 2 1 x x x ， ( ) 1  2 3 =           0 1 1 1 0 1 1 1 0 ( ) 1  2 3 -1=           − − − 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 所以           3 2 1 x x x = ( ) 1  2 3 -1α=           − − − 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1           0 0 2 =           −1 1 1 2．验证α1=（1 -1 0） T，α2=（2 1 3） T，α3=（3 1 2 ） T 为 R 3 的一个基，并把 α=（5 0 7） T，β=（-9 -8 -13） T 用这个基线性表示。 解.设 ( ) 1  2 3 =           − 0 3 2 1 1 1 1 2 3 ， 1 2 3 = 0 3 2 1 1 1 1 2 3 − = -6 ≠0 所以α1，α2，α3 为 R 3 的一个基。 设α= ( ) 1  2 3           3 2 1 x x x ，β= ( ) 1  2 3           3 2 1 y y y 由 (   ) A = 1 2 =           − 0 3 2 7 1 1 1 0 1 2 3 5 →           0 0 − 2 2 0 3 4 5 1 2 3 5 得α= ( ) 1  2 3           3 2 1 x x x = ( ) 1  2 3           −1 3 2 =2α1+3α2-α3 ， 又有 (   ) A = 1 2

《线性代数》第六章习题解答 123-9）123-9 -111-8→034-17 032-13(00-24 3 得B=(a1a2a)y2=(a1a2a)-3=3a1-3a-2a；。 （-2 3.下列阶方阵的集合，关于矩阵的加法和数乘矩阵两种运算是否构成线性空间 (1)n阶对称矩阵全体所成之集合S。 (2)n阶可逆矩阵全体所成之集合R: (3)主对角线上各元素之和等于零的阶矩阵全体所成之集合T。 解.(1)S构成线性空间。因为女A,B,C∈S,λ，u∈R, A+B∈S. AAES 且满足1°，A+B=B+A 2°(A+B)+CA+(BC) 3°零元素为0，满足0+A=A 4°负元素为-A,使A+(-A)=0 5°1A=A 6°X(uA)=(Xμ)A 7°X(A+B)=AA+AB 8°（入+μ）A=λA+μA (2)R不构成线性空间，因为若A∈R,但0A=0不可逆，即R关于数乘法不封闭。 (3)T构成线性空间，因为T关于加法和数乘法封闭，并且满足8°性质。 4.下列集合对指定的运算是否构成实数域上的线性空间？ (1)设X,是n阶方阵A的特征值，A对应于,的特征向量所成之集合，关于向量的加法利 数乘向量两种运算： (2)微分方程y“+3y+3y+y=0的全体解所成之集合，关于函数相加和数乘函数两种 运算： (3)微分方程y+3y+3y+y=5的全体解所成之集合，关于函数相加和数乘函数两种 运算： (4)R中与向量(0,0,1)'不平行的全体向量所成之集合，关于中向量的线性运算。 解.(1)不构成线性空间，因为此集合不含零向量： (2)构成线性空间，由齐次线性微分方程解的性质得证 (3)不构成线性空间，由非齐次线性微分方程解的性质得证： (4)不构成线性空间，关于向量的加法和数乘向量两种运算不封闭。 5.检验以下集合对于所给的运算是否是实数域R上的线性空间。 令S={(a,b)a,b∈R},对于运算： (a,b)(c,d)=(atc,b+d+ac) ko (a,b)=(ka,kb+g) -2

《线性代数》第六章习题解答 -2- =           − − − − 0 3 2 13 1 1 1 8 1 2 3 9 →           − − − 0 0 2 4 0 3 4 17 1 2 3 9 得β= ( ) 1  2 3           3 2 1 y y y = ( ) 1  2 3           − − 2 3 3 =3α1-3α2-2α3 。 3.下列 n 阶方阵的集合，关于矩阵的加法和数乘矩阵两种运算是否构成线性空间？ （1）n 阶对称矩阵全体所成之集合 S； （2）n 阶可逆矩阵全体所成之集合 R； （3）主对角线上各元素之和等于零的 n 阶矩阵全体所成之集合 T。 解.（1）S 构成线性空间。因为  A，B，C∈S，λ，μ∈R ， A+B∈S， λA∈S 且满足 1°.A+B=B+A 2°（A+B）+C=A+（B+C） 3° 零元素为 0，满足 0+A=A 4°负元素为-A，使 A+（-A）=0 5°1A=A 6°λ（μA）=（λμ）A 7°λ（A+B）=ΛA+ΛB 8°（λ+μ）A=λA+μA （2）R 不构成线性空间，因为若 A∈R，但 0A=O 不可逆，即 R 关于数乘法不封闭。 （3）T 构成线性空间，因为 T 关于加法和数乘法封闭，并且满足 8°性质。 4．下列集合对指定的运算是否构成实数域上的线性空间？ （1） 设λ0 是 n 阶方阵 A 的特征值，A 对应于λ0 的特征向量所成之集合，关于向量的加法和 数乘向量两种运算； （2） 微分方程 3 3 0 ''' '' ' y + y + y + y = 的全体解所成之集合，关于函数相加和数乘函数两种 运算； （3） 微分方程 3 3 5 ''' '' ' y + y + y + y = 的全体解所成之集合，关于函数相加和数乘函数两种 运算； （4） R 3 中与向量（0，0，1） T 不平行的全体向量所成之集合，关于 R 3 中向量的线性运算。 解. （1）不构成线性空间，因为此集合不含零向量； （2）构成线性空间，由齐次线性微分方程解的性质得证； （3）不构成线性空间，由非齐次线性微分方程解的性质得证； （4）不构成线性空间，关于向量的加法和数乘向量两种运算不封闭。 5．检验以下集合对于所给的运算是否是实数域 R 上的线性空间。 令 S={（a，b）|a，b∈R}，对于运算： （a，b）⊕（c，d）=（a+c，b+d+ac） k  （a，b）=（ka，kb+ 2 2 ( 1) a k k− ）

《线性代数》第六章习题解答 解。显然集合S对于上述两种运算是封闭的，并且加法运算显然满足交换律，结合律，零元素 为(0,0)，对于任意元素(a,b)的负元素为(-a,-b+a)。对于数乘的4条运算规律易验证也成 立。所以ς构成一人电性空间」 6求实数域R上的全体2阶对称（反对称，上三角，下三角）矩阵所成的线性空间的一个基和维数。 解。全体2阶对称矩阵的线性空间的一组基为 6889ed 其维数为3： 全体2阶上三角矩阵的线性空间的一组基为 68e 其维数为3： 全体2阶下三角矩阵的线性空间的一组基为 10.(00.00 000110 其维数为3。 (100 7.设A001 求线性空间S(B)=B∈xAB=O0)的一个基和维数。 000 (000 解.设B=(b)则AB=-0时，B=b1bb 所以S的一个基为 (000 000(000)000 100,010,001,其维数为3。 000000000 8.在R中，求向量a=(3,7,1)'关于基a=(1,3,5), a=(6,3,2),a=(3,1,0)'的坐标 x 解.设a=aa凸a)x2 (x3 16331633 A=a1aa3a3317→01172 (5201001154

《线性代数》第六章习题解答 -3- 解。显然集合 S 对于上述两种运算是封闭的，并且加法运算显然满足交换律，结合律，零元素 为（0，0），对于任意元素（a，b）的负元素为（-a，-b+a2）。对于数乘的 4 条运算规律易验证也成 立。所以 S 构成一个线性空间。 6．求实数域 R 上的全体 2 阶对称（反对称，上三角，下三角）矩阵所成的线性空间的一个基和维数。 解.全体 2 阶对称矩阵的线性空间的一组基为         0 0 1 0 ，         0 1 0 0 ，         1 0 0 1 其维数为 3； 全体 2 阶反对称矩阵的线性空间的一组基为         −1 0 0 1 其维数为 1； 全体 2 阶上三角矩阵的线性空间的一组基为         0 0 1 0 ，         0 1 0 0 ，         0 0 0 1 其维数为 3； 全体 2 阶下三角矩阵的线性空间的一组基为         0 0 1 0 ，         0 1 0 0 ，         1 0 0 0 其维数为 3。 7．设 A=           0 0 0 0 0 1 1 0 0 ，求线性空间 S（B）={B∈M3×3|AB=0}的一个基和维数。 解.设 B=（bij）则 AB=0 时，B=           0 0 0 0 0 0 b21 b22 b23 ，所以 S 的一个基为           0 0 0 1 0 0 0 0 0 ，           0 0 0 0 1 0 0 0 0 ，           0 0 0 0 0 1 0 0 0 ，其维数为 3。 8． 在 R 3 中，求向量α=（3，7，1）T 关于基α1=（1，3，5）T， α2=（6，3，2）T，α3=（3，1，0）T 的坐标 解.设α= ( ) 1  2 3           3 2 1 x x x ， A = (    ) 1 2 3 =           5 2 0 1 3 3 1 7 1 6 3 3           → 0 0 1 154 0 1 1 72 1 6 3 3

《线性代数》第六章习题解答 所以 9在所有对后阶方库所成的线性空间S中，求它的一个。并出距阵(关于这 个基的坐标。 -2.1)1。 10.已知四维线性空间中的两个基为a,a,a,a,和B,B,B,B,且 Bi=ait a: B= a2-a,-a4 求a,关于基B,B,B,B,的坐标。 1210 解.由已知(B1BB,B,)=(a1a:a3a,) 1111 030-1 110-1 1210) (aia:aa)=(BIB:B3B) 1111 030-1 110-1 (-110 =(B,B,B,B) 3 2 -是是支0 所以a=(aa2a,a) 0 0

《线性代数》第六章习题解答 -4- 所以           3 2 1 x x x =           − 154 82 33 。 9．在所有实对称二阶方阵所成的线性空间 S2 中，求它的一个基，并写出矩阵         − − 2 1 3 2 关于这 个基的坐标。 解.S2 的一个基为         0 0 1 0 ，         − − 1 0 0 1 ，         0 1 0 0 ，则矩阵         − − 2 1 3 2 在这个基的坐标为（3， -2。1）T 。 10．已知四维线性空间中的两个基为α1，α2，α3，α4，和β1，β2，β3，β4，且 β1=α1+ α2 +α4 β1=2α1+α2+3α3+α4 β1=α1+ α2 β1= α2-α3-α4 求α4 关于基β1，β2，β3，β4 的坐标。 解.由已知（β1β2β3β4）=（α1α2α3α4）               − − 1 1 0 1 0 3 0 1 1 1 1 1 1 2 1 0 ，知 （α1α2α3α4）=（β1β2β3β4） 1 1 1 0 1 0 3 0 1 1 1 1 1 1 2 1 0 −               − − =（β1β2β3β4）               − − − − − − 0 3 2 1 1 0 1 1 0 1 2 1 2 3 2 3 2 1 2 1 2 1 所以α4=（α1α2α3α4）               1 0 0 0

《线性代数》第六章习题解答 -110 =(B1B2B,B,) 3 -2 即a,在基B,B:B,B,的坐标为10-10。 11.已知R中的两个基为 求向量a=2a+4a:关于基B,B:,B,的坐标。 解.已知 100 (a1a2a)=(e1e2e)110 111 110N (B,B2B,)=(e1e2e)011 101 则a=(a1a2a) 111o =(BB:B)01 1-111002 =(B,BB) =(B1BB)1 12.在R中取两个基，一个为标准基e,”e”e,另一个为a=(2,1,-1,1)，a=(0, 3,1,0),a(5,3,2,1),a=(6,6,1,3)'。 (1)求由基E,e,E,e,到基a1,2,a,a,的过波矩阵： (2)求向量a=(x,,x,x)'关于基a1,a2,a,a,的坐标 (3)求在这两个基下有相坐标的向量：

《线性代数》第六章习题解答 -5- =（β1β2β3β4）               − − − − − − 0 3 2 1 1 0 1 1 0 1 2 1 2 3 2 3 2 1 2 1 2 1               1 0 0 0 =               − 0 1 0 1 即α4 在基β1β2β3β4 的坐标为 ( ) T 1 0 −1 0 。 11．已知 R 3 中的两个基为 α1=（1，1，1）T，α2=（0，1，1）T，α3=（0，0，1）T； β1=（1。0。1）T，β2=（1，1，0）T，β3（0，1，1）T， 求向量α=2α1+ 4α2 关于基β1，β2，β3 的坐标。 解.已知 （α1α2α3）=（ε1ε2ε3）           1 1 1 1 1 0 1 0 0 ， （β1β2β3）=（ε1ε2ε3）           1 0 1 0 1 1 1 1 0 则α=（α1α2α3）           0 4 2 =（ε1ε2ε3）           1 1 1 1 1 0 1 0 0           0 4 2 =（β1β2β3） 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 −                     1 1 1 1 1 0 1 0 0           0 4 2 =（β1β2β3）           − − − 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1           1 1 1 1 1 0 1 0 0           0 4 2 =（β1β2β3）           5 1 1 。 12．在 R 4 中取两个基，一个为标准基ε1，ε2，ε3，ε4，另一个为α1=（2，1，-1，1）T，α2=（0， 3，1，0）T，α3=（5，3，2，1）T，α4=（6，6，1，3）T。 （1）求由基ε1，ε2，ε3，ε4 到基α1，α2，α3，α4 的过渡矩阵； （2）求向量α=（x1，x2，x3，x4） T 关于基α1，α2，α3，α4 的坐标 （3）求在这两个基下有相坐标的向量；