揭阳职业技术学院：《概率论与数理统计》课程授课教案

在事件A中的所有样本点组成的新事件，即A=Q-A。从概率论的角度来说：事件A不发生。5、事件的运算性质定律：(1)交换律：AUB=BUA，ANB=BNA;(2)结合律：(AUB)UC=AU(BUC)(AB)C= A(BC) :(3)分配律：(AUB)NC=ACUBC,(ANB)UC=(AUC)N(BUC):（4）对偶律（德·）摩根公式）：AUB=ANB，并事件的对立等于对立事件的交，ANB=AUB，交事件的对立等于对立事件的并。三、主要例题：例1随机试验的例子：（1）抛掷一枚均匀的硬币，有可能正面朝上，也有可能反面朝上：（2）抛掷一枚均匀的殷子，出现的点数；（3）某快餐店一天内接到的订单量：（4）航班起飞延误的时间；（5）一支正常交易的A股股票每天的涨跌幅。例2下面给出例1中随机试验的样本空间：（1）抛掷一枚均匀硬币的样本空间为2，=H,T，其中H表示正面朝上，T表示反面朝上：（2）抛掷一枚均匀般子的样本空间为Q，={i,i=1,2,,6)（3）某快餐店一天内接到的订单量的样本空间为2，=0,1,2,.（4）航班起飞延误时间的样本空间为24=(t:1≥0)：（5）一支正常交易的A股股票每天涨跌幅的样本空间为Q，=(x：-10%≤x%≤10%)。5

5 在事件 A 中的所有样本点组成的新事件，即 A =  A。从概率论的角度来说：事件 A 不发 生。 5、事件的运算性质定律： (1)交换律： A  B = B  A， A B = B  A ； (2)结合律： (AB)C  A(BC) , (AB)C  A(BC) ； (3)分配律： (AB)C  ACBC, (A B)  C  (A C)  (B  C) ； (4) 对偶律（德•）摩根公式）： A B=A B ，并事件的对立等于对立事件的交， A B=A B ，交事件的对立等于对立事件的并。 三、主要例题： 例 1 随机试验的例子： （1）抛掷一枚均匀的硬币，有可能正面朝上，也有可能反面朝上； （2）抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数； （3）某快餐店一天内接到的订单量； （4）航班起飞延误的时间； （5）一支正常交易的 A 股股票每天的涨跌幅。 例 2 下面给出例 1 中随机试验的样本空间： （1）抛掷一枚均匀硬币的样本空间为1  H,T ，其中 H 表示正面朝上，T 表示反面朝上； （2）抛掷一枚均匀骰子的样本空间为2  i,i 1, 2,,6 ； （3）某快餐店一天内接到的订单量的样本空间为3  0,1, 2, ； （4）航班起飞延误时间的样本空间为4  t :t  0 ； （5）一支正常交易的 A 股股票每天涨跌幅的样本空间为5  x : 10%  x% 10%

例3抛掷一枚均匀的般子的样本空间为Q=(1,2,,6)随机事件A=“出现6点”={6)]；随机事件B=“出现偶数点”={2,4,6);随机事件C=“出现的点数不超过6”=(1,2,,6)=Q，即一定会发生的必然事件；随机事件D=“出现的点数超过6”=Φ，即一定不会发生的不可能事件。例4用事件A,B,C的运算关系式表示下列事件，则(1）A出现，B,C都不出现（记为E,)：(2）所有三个事件都出现（记为E,）；（3）三个事件都不出现（记为E，）；（4）三个事件中至少有一个出现（记为E）：（5）三个事件中至少有两个出现（记为E，）：(6）至多一个事件出现（记为E）；（7）至多二个事件出现（记为E，）83频率和概率、基本概念：1、概率的公理化定义设任一随机试验E，Q为相应的样本空间，若对任意事件A，有实数P（A)与之对应，且满足下面条件，则数P(A)称为事件A的概率：（1）非负性公理对于任意事件A，总有P(A)≥0；（2）规范性公理P(Q)=1；P(A)（3）可列可加性公理若A,A，,A,..为两两互不相容事件组，则有P二、定理与性质：性质1P(g)=0

6 例 3 抛掷一枚均匀的骰子的样本空间为  1,2,,6 随机事件 A=“出现 6 点”=6 ； 随机事件 B=“出现偶数点”=2, 4，6； 随机事件 C=“出现的点数不超过 6”  1, 2,,6= ，即一定会发生的必然事件； 随机事件 D=“出现的点数超过 6”= ，即一定不会发生的不可能事件。 例 4 用事件 A, B,C 的运算关系式表示下列事件，则： (1) A 出现， B,C 都不出现（记为 E1）； (2) 所有三个事件都出现（记为 E2 ）； (3) 三个事件都不出现（记为 E3）； (4) 三个事件中至少有一个出现（记为 E4 ）； (5) 三个事件中至少有两个出现（记为 E5）； (6) 至多一个事件出现（记为 E6 ）； (7) 至多二个事件出现（记为 E7 ） §3 频率和概率 一、基本概念： 1、概率的公理化定义 设任一随机试验 E ， 为相应的样本空间，若对任意事件 A ，有实数 P A 与之对应，且满足下面 条件，则数 P A 称为事件 A 的概率： （1）非负性公理 对于任意事件 A ，总有 P A  0 ； （2）规范性公理 P =1； （3）可列可加性公理 若 1 2 , , , , A A  An 为两两互不相容事件组，则有   1 1 i i i i P A P A              . 二、定理与性质： 性质 1 P   0

设4,A"A,为两两互不相容的事件，则有P(4)-P(4)。性质2（有限可加性）性质3对任意事件A，有P(A)=1-P(4)。性质4 若事件AcB，则 P(B-A)=P(B)-P(A)。推论若事件 Ac B，则P(A)≤P(B)。性质5（减法公式）设A,B为任意事件，则 P(A-B)=P(A)-P(AB)。性质6(加法公式）设A,B为任意事件，则P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)。三、主要例题：例1（生日问题）n个人中至少有两个人的生日相同的概率是多少？例2已知事件A,B,AUB的概率依次为0.2，0.4，0.5，求概率P(AB)例3设事件A,B,C为三个随机事件，已知P(A)=0.2，P(B)=0.3，P(C)=0.4PAB)=0，P(BC)=P(AC)=0.1，则A,B,C至少发生一个的概率是多少？A,B,C都不发生的概率是多少？84等可能概型（古典概型）、基本概念：1、古典概型（1）随机试验的样本空间只有有限个样本点，不妨记作2={1,02，,0）(2)每个样本点发生的可能性相等，即P(o))==P(o,))=A中所含样本点的个数_nA若随机事件A中含有n,个样本点，则事件A的概率为P(A)=含Q中所有样本点的个数n2、几何概型（1）随机试验的样本空间是某个区域（可以是一维区间、二维平面区域或三维空间区域），（2）每个样本点发生的可能性相等，7

7 性质 2（有限可加性） 设 1 2 , , , A A  An 为两两互不相容的事件，则有   1 1 n n i i i i P A P A            。 性质 3 对任意事件 A ，有 P  A  1 P  A 。 性质 4 若事件 A  B ，则 PB  A  P B-P A。 推论 若事件 A  B ，则 P A  P B 。 性质 5（减法公式） 设 A, B 为任意事件，则 P A B  P A  P AB 。 性质 6（加法公式） 设 A, B 为任意事件，则 P A B  P A  PB  P AB 。 三、主要例题： 例 1（生日问题） n 个人中至少有两个人的生日相同的概率是多少？ 例 2 已知事件 A, B, A B 的概率依次为 0.2，0.4，0.5，求概率 P  AB . 例 3 设事件 A, B,C 为三个随机事件，已知 P(A)  0.2 ， P(B)  0.3， P(C)  0.4， P(AB)  0，P(BC)  P(AC)  0.1，则 A, B,C 至少发生一个的概率是多少？ A, B,C 都不发生的 概率是多少？ §4 等可能概型(古典概型) 一、基本概念： 1、古典概型 （1）随机试验的样本空间只有有限个样本点，不妨记作  1 ,2 ,,n ； （2）每个样本点发生的可能性相等，即  1   1 ( ) = ( ) P P n n     若随机事件 A 中含有 A n 个样本点，则事件 A 的概率为 ( ) = A A n P A n   中所含样本点的个数 中所有样本点的个数 2、几何概型 （1）随机试验的样本空间 是某个区域（可以是一维区间、二维平面区域或三维空间区域）， （2）每个样本点发生的可能性相等

则事件A的概率公式为：P(A)=m(A)m(2)其中m(）在一维情形下表示长度，在二维情形下表示面积，在三维情形下表示体积。二、主要例题：例1抛掷两颗均匀的般子，观察出现的点数，设事件A表示“两个般子的点数一样”，求P(A).例2（抽样模型）已知N件产品中有M件是不合格品，其余N-M是合格品。今从中随机地抽取n件。试求：（1）不放回抽样n件中恰有k件不合格品的概率；（2）有放回抽样n件中恰有k件不合格品的概率。例3（抽奖问题）今有某公司年会的抽奖活动，设共有n张券，其中只有一张有奖，每人只能抽一张，设事件A表示为“第k个人抽到有奖的券”，试在有放回、无放回两种抽样方式下，求P(A).例4在[0,1]区间内任取一个数，求（1）这个数落在区间(0,0.25)内的概率；（2）这个数落在区间中点的概率；（3）这个数落在区间（0,1)内的概率。例5（碰面问题）甲、乙两人约定在中午的12时到13时之间在学校咖啡屋碰面，并约定先到者等候另一人10分钟，过时即可离去。求两人能碰面的概率，例6（蒲丰投针问题）蒲丰投针试验是第一个用几何形式表达概率问题的例子。假设平面上画满间距为a的平行直线，向该平面随机投掷一枚长度为l(1<α)的针，求针与任一平行线相交的概率，S5条件概率一、基本概念：P(AB)2为在事件A1、设E是随机试验，Q是样本空间，A,B是事件且P(A)>0，称P(BIA)=P(A)发生的条件下事件B发生的概率，称为条件概率，记为P(BIA)2、设E是随机试验，Q是相应的样本空间，A,A2",A,为事件组，若A,A2，",A,满足条件：①A,NA, =O(i+ J)②AUAU...UA,=Q则称事件组A,A，,A,为样本空间的一个完备事件组.完备事件组完成了对样本空间的一个分割。二、定理与性质：1，条件概率也满足概率的公理化定义的三条基本性质，即非负性、规范性和可列可加性，如下：（1）非负性公理对于任意事件A，总有P(AB)≥0；0

8 则事件 A 的概率公式为： (A) ( ) ( ) m P A m   其中 m() 在一维情形下表示长度，在二维情形下表示面积，在三维情形下表示体积。 二、主要例题： 例 1 抛掷两颗均匀的骰子，观察出现的点数，设事件 A 表示“两个骰子的点数一样”，求 P(A) ． 例 2（抽样模型）已知 N 件产品中有 M 件是不合格品，其余 N  M 是合格品。今从中随机地抽取 n 件。试求： （1）不放回抽样 n 件中恰有 k 件不合格品的概率； （2）有放回抽样 n 件中恰有 k 件不合格品的概率。 例 3 （抽奖问题）今有某公司年会的抽奖活动，设共有 n 张券，其中只有一张有奖，每人只能抽一 张，设事件 A 表示为“第 k 个人抽到有奖的券”，试在有放回、无放回两种抽样方式下，求 P(A) ． 例 4 在[0,1]区间内任取一个数，求 （1） 这个数落在区间(0,0.25) 内的概率； （2） 这个数落在区间中点的概率； （3） 这个数落在区间(0,1) 内的概率。 例 5（碰面问题）甲、乙两人约定在中午的 12 时到 13 时之间在学校咖啡屋碰面，并约定先到者等候 另一人 10 分钟，过时即可离去。求两人能碰面的概率. 例 6(蒲丰投针问题) 蒲丰投针试验是第一个用几何形式表达概率问题的例子。假设平面上画满间距 为 a 的平行直线，向该平面随机投掷一枚长度为l(l  a) 的针，求针与任一平行线相交的概率. §5 条件概率 一、基本概念： 1、设 E 是随机试验， 是样本空间， A, B 是事件且 P A  0，称       | P AB P B A P A  为在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率，称为条件概率，记为 PB | A . 2、设 E 是随机试验，  是相应的样本空间， 1 2 , , , A A  An 为事件组，若 1 2 , , , A A  An 满足条件： ① Ai  Aj  i  j ② A1  A2  An   则称事件组 1 2 , , , A A  An 为样本空间的一个完备事件组.完备事件组完成了对样本空间的一个分割. 二、定理与性质： 1，条件概率也满足概率的公理化定义的三条基本性质，即非负性、规范性和可列可加性，如下： （1）非负性公理 对于任意事件 A ，总有 P A B  0 ；

(2）规范性公理P(QB)=1;(3)可列可加性公理若A,A，",A,….为两两互不相容事件组，则有PO4,|BP(A (B)2，（概率的乘法定理）设A,B为试验E的事件，且P(A)>0，则有P(AB)=P(A)P(BIA).同理，若 P(B)>0,有 P(AB)= P(A|B)P(B)。3，设A,B,C为任意的三个事件，且P(AB)>0则P(ABC)=P(A)P(BIA)P(CIAB)。4，更一般的，有下面公式：设A,A,A,为事件组，且P(44A-)>0，则P(AA, .-A.)=P(A)P(A IA)P(A, IAA)...P(A, IAA -A.-)5，（全概率公式）设A,A2，",A,为完备事件组，且P(4)>0(i=1,2,",n)，B为任一事件，则P(B)=ZP(4,)P(BIA,)。（贝叶斯公式）设A,A2，"",A,为完备事件组，P(4)>0(i=1,2,,n)，B为任一事件，则P(4)P(BIA)P(4IB)=-ZP(4)P(B4)=1三、主要例题：例1假设抛掷一颗均匀的般子，已知掷出的点数是偶数，求点数超过3的概率？例2假设一批产品中一二三等品各有60个，30个和10个，从中任取一件，发现不是三等品，则取到的是一等品的概率是多少？例3设A,B为事件，且已知P(A)=0.7,P(B)=0.4，P(A-B)=0.5，求P(BA)。例4一批零件共100个，次品率为10%，从中不放回取三次（每次取一个），求第三次才取得正品的概率.例5某手机制造企业有二个生产基地，一个在S市，一个在T市，但都生产同型号手机。S市生产的手机占总数的60%，而T市的则占40%.二个基地生产的手机都送到二地之间的一个中心仓库，且产品混合放在一起.从质量检查可知S市生产的手机有5%不合格：T市生产的手机则有10%不合格.求：(1)）从中心仓库随机抽出一个手机，求它是不合格品的概率；9

9 （2）规范性公理 P B  1； （3）可列可加性公理 若 1 2 , , , , A A  An 为两两互不相容事件组，则有   1 1 i i i i P A B P A B              . 2，（概率的乘法定理）设 A, B 为试验 E 的事件，且 P A  0，则有 P AB  P A PB | A .同理， 若 P(B)  0 ，有 P(AB)  P(A | B)P(B) 。 3，设 A, B,C 为任意的三个事件，且 P AB  0则 P ABC  P A PB | A PC | AB 。 4，更一般的，有下面公式：设 1 2 , , , A A  An 为事件组，且  1 2 1  0 P A A An  ，则 P A1A2An   P A1  P A2 | A1  P A3 | A1A2 P An | A1A2An1  5，（全概率公式） 设 1 2 , , , A A  An 为完备事件组，且 P Ai  0i 1,2,,n， B 为任一事件，则       1 | n i i i P B P A P B A    。 （贝叶斯公式） 设 1 2 , , , A A  An 为完备事件组， P Ai  0i 1,2,,n， B 为任一事件，则           1 | | | i i i n i i i P A P B A P A B P A P B A    . 三、主要例题： 例 1 假设抛掷一颗均匀的骰子，已知掷出的点数是偶数，求点数超过 3 的概率？ 例 2 假设一批产品中一二三等品各有 60 个，30 个和 10 个，从中任取一件，发现不是三等品，则取 到的是一等品的概率是多少？ 例 3 设 A, B 为事件，且已知 P(A)  0.7, P(B)  0.4，P(A  B)  0.5，求 P(B A)。 例 4 一批零件共 100 个，次品率为 10%，从中不放回取三次（每次取一个），求第三次才取得正品 的概率． 例 5 某手机制造企业有二个生产基地，一个在 S 市，一个在 T 市，但都生产同型号手机. S 市生产 的手机占总数的 60％，而 T 市的则占 40％.二个基地生产的手机都送到二地之间的一个中心仓库， 且产品混合放在一起.从质量检查可知 S 市生产的手机有 5％不合格；T 市生产的手机则有 10％不合 格.求： （1） 从中心仓库随机抽出一个手机，求它是不合格品的概率；