上海交通大学：《常微分方程》课程教学资源（讲座稿1）第二十八讲 变系数二阶线性齐次微分方程——比较定理

证：记W(x)为1(x),2(x)的Wronsky行列式 (a)必要性.由于o1(x),2(x)在J上线性无关，所以 W(x)≠0，x∈J. 由假设知，1(x),2(x)在J上都有零点. 。如果1(x),2(x)有共同的零点，记为x0∈J.则 W(x)=W(xo)e-FoP(s)ds=0,xEJ, 与假设矛盾.故1(x),2(x)在J上没有共同的零点. ·如果1(x)与2(x)都只有一个零点，因这两个零点不相同， 结论显然成立 4口6·4之··生+2a0 张样：上海交通大学数学系 第二十八讲、变系数二阶线性齐次微分方程：比较定理

y: P W(x) è φ1(x), φ2(x)  Wronsky 1™. (a) 7á5. du φ1(x), φ2(x) 3 J ˛Ç5Ã', §± W(x) 6= 0, x ∈ J. db, φ1(x), φ2(x) 3 J ˛—k":. XJ φ1(x), φ2(x) k
”":, Pè x0 ∈ J. K W(x) = W(x0)e − R x x0 p(s)ds = 0, x ∈ J, ÜbgÒ.  φ1(x), φ2(x) 3 J ˛vk
”":. XJ φ1(x) Ü φ2(x) —êkòá":, œ˘¸á":ÿÉ”, (ÿw,§·. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õl˘!CXÍÇ5‡gá©êß: '½n

不妨假设 ●1(x)有至少两个零点，且x1,2是1(x)的两个相邻的零点. 再不妨设1<2且 p1(x)>0,x∈(1,3) 则 01(x)>0,01(x2)<0. 因Wx)≠0，所以W(x)W(x2)>0.又 W(x1)=-2(x1)p(x1),W(x2)=-2(2)p(x2): 故有 p2(x1)2(2）<0. 由2(x)的连续性得： 2(x)在(x1,2)上必有一个零点且只有一个零点 否则同上证明得到：1(x)在2x)位于(x1,x2)上的零点之间有 零点，与x1,2是1x)的相邻零点矛盾 张样：上海交通大学数学系 第二十八讲、变系数二阶线性齐次微分方程：比较定理

ÿîb φ1(x) kñ¸á":, Ö x1, x2 ¥ φ1(x) ¸áÉ":. 2ÿî x1 < x2 Ö φ1(x) > 0, x ∈ (x1, x2). K φ 0 1 (x1) > 0, φ 0 1 (x2) < 0. œ W(x) 6= 0, §± W(x1)W(x2) > 0. q W(x1) = −φ2(x1)φ 0 1 (x1), W(x2) = −φ2(x2)φ 0 1 (x2), k φ2(x1)φ2(x2) < 0. d φ2(x) ÎY5: φ2(x) 3 (x1, x2) ˛7kòá":Öêkòá":. ƒK”˛y²µφ1(x) 3 φ2(x) †u (x1, x2) ˛":Émk ":, Ü x1, x2 ¥ φ1(x) É":gÒ. ˘“y² φ1(x) Ü φ2(x) ":ÉpÜ. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õl˘!CXÍÇ5‡gá©êß: '½n

充分性.反证.如果1(x)与2(x)线性相关，则存在不全为零的 常数c1,c2使得 c1p1(x)+c2p2(x)≡0，x∈J. 事实上c1,c2都不为零，否则1(x)与2(x)中必有一个恒为零， 与假设矛盾.从而 p2(x)=c01(x), c≠0， x∈J. 这说明(x)与2(x)的零点完全相同，与假设矛盾. 从而1(x),2(x)线性无关 (b)由(@)的证明容易得到.作为练习由读者自己完成.证毕， 张样：上海交通大学数学系 第二十八讲、变系数二豫线性齐次微分方程：比较定理

ø©5. áy. XJ φ1(x) Ü φ2(x) Ç5É', K3ÿè" ~Í c1, c2 ¶ c1φ1(x) +c2φ2(x) ≡ 0, x ∈ J. Ø¢˛ c1, c2 —ÿè", ƒK φ1(x) Ü φ2(x) •7kòáðè", ÜbgÒ. l φ2(x) = cφ1(x), c 6= 0, x ∈ J. ˘`² φ1(x) Ü φ2(x) ":É”, ÜbgÒ. l φ1(x), φ2(x) Ç5Ã' (b) d (a) y²N¥. äèˆSd÷ˆgC§. y.. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õl˘!CXÍÇ5‡gá©êß: '½n