则其中对应于k，≥1的那些方幂(a-a,)h((kij, ≥1)就是A的全部初等因子注意到不变因子 d,(x),d,(x),.",d,(x)满足2d,(x)Idi+(x), i=1,2,..,n-1从而有(a-a,) (a-a,)j, i=1,2,.,n-1, j=1,2,..r因此有，,k,≤k2,≤...≤kni，j=1,2,.",r88.5初等因子区区
§8.5 初等因子 则其中对应于 1 的那些方幂 : i j k ( ) ( 1) i j k j i j − k 就是A的全部初等因子. ② 注意到不变因子 d x d x d x 1 2 ( ), ( ), , ( ) n 满足 1 ( ) | ( ), 1,2, , 1 i i d x d x i n + = − 从而有 1 , ( ) | ( ) , 1,2, , 1, 1,2, i j i j k k j j i n j r + − − = − = 因此有, 1 2 , 1,2, , j j nj k k k j r =
即同一个一次因式的方幂作成的初等因子中，方次最高的必出现在d2）的分解式中，次高的必出现在dn-i(a）的分解式中。如此顺推下去，可知属于同一个一次因式的方幂的初等因子，在不变因子的分解式中出现的位置是唯一确定的.88.5初等因子
§8.5 初等因子 即同一个一次因式的方幂作成的初等因子中， 方次最高的必出现在 dn ( ) 的分解式中，次高的必 出现在 的分解式中. 1 ( ) n d − 如此顺推下去，可知属于同一个一次因式的方幂 的初等因子，在不变因子的分解式中出现的位置是 唯一确定的
设n级矩阵A的全部初等因子为已知3在全部初等因子中，将同一个一次因式(a-a,) j=1,2,...r的方幂的那些初等因子按降幂排列，而且当这种初等因子的个数不足n个时，则在后面补上适当个数的1，使其凑成n个，设所得排列为(a-a,)i,(a-a,)-], ..,(a-a,), j=1,2,..88.5初等因子
§8.5 初等因子 ③ 设 n 级矩阵 A 的全部初等因子为已知. 在全部初等因子中，将同一个一次因式 ( ) 1,2, j − =j r 的方幂的那些初等因子按降幂排列，而且当这种初 等因子的个数不足n个时，则在后面补上适当个数 的1，使其凑成n个，设所得排列为 1, 1 ( ) , ( ) , , ( ) , 1,2, . n j n j j k k k j j j j r − − − − =
于是令d,(x) =(a-2)kin(a-2)ki2 ...(a-a,)kir, i =1,2,..,n则 d,(x), d,(x), .., dn(x)就是A的不变因子.88.5初等因子
§8.5 初等因子 于是令 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) , 1,2, , i i ir k k k i r d x i n = − − − = 则 1 2 ( ), ( ), , ( ) n d x d x d x 就是A的不变因子