《数学分析》课程教学资源（PPT课件）第八章 不定积分

例4.求∫f(x)dx,其中f(x)=10≤x<1 x≥1 解:f(x)在(-∞,0),[01和[1,+∞内分别有 原函数+x,x+C1和nx+C2(C12C2待定 作函数 +x.x<0 F(x)=1x+C10≤xs1 lnx+C,x≥1

例4. 求  f (x)dx,其中 f (x)= x 2+1, x<0. , 1 1 x  x 1, 0  x 1 解: 作函数 原函数 和 待定 ， 在 和 内分别有 , ln ( , ) 3 ( ) ( ,0),[0,1] [1, ] 1 2 1 2 3 x x C x C C C x f x + + + - + F(x)= , 0 3 3 + x x  x ln x +C2 x 1 x +C1 0  x 1

而要使F(x)成为f(x)在R上的原函数,必须 F(x)连续,从而C1=0,C2=1,因此满足 条件的函数为 +X.x< F(x) 0≤x<1 lnx+1x≥1 故 f(x)dx=F(x)+C

而要使F(x)成为f (x)在R上的原函数，必须 F(x)连续，从而C1＝0，C2＝1，因此满足 条件的函数为 F(x)= , 0 3 3 + x x  x ln x +1 x 1. x, 0  x 1 故 f x x = F x +C  ( )d ( )

x"dx x4++C 1+1 例5 dx x+ 3+1 2x 2 例6.|x2√xdx+x2dhx= x2+c 2 x2+c==xix +C 例7 X +C= XiX 4 Vx

27 72 = x + C 72 = x 3 x + C。 (2)  x dx = 1 1  + x  + 1 + C ， 例 1  31x dx = x - 3 dx 3 1 1 - + = x - 3 + 1 + C 2 2 1x 例 1  3 = - + C 。 1x dx = x - 3 dx 3 1 1 - + = x - 3 + 1 + C 2 2 1x 例 1  3 = - + C 。 1x dx = x - 3 dx 3 1 1 - + = x - 3 + 1 + C 2 2 1x = - + C 。 例 2  x 2 x dx = 25 x dx 1 25 1 25 1 + + 例 2  x = x + C 2 x dx = 25 x dx 1 25 1 25 1 + + = x + C 例 3  3 x x dx = 34 - x dx 1 34 1 34 - + = - + x + C 3 3x 例 3  3 = - + C 。 x x dx = 34 - x dx 1 34 1 34 - + = - + x + C 3 3x 例 3  3 = - + C 。 x x dx = 34 - x dx 1 34 1 34 - + = - + x + C 3 3x = - + C 。 例 1  31x dx = x - 3 dx 3 1 1 - + = x - 3 + 1 + C 2 2 1x 例 5 ． = - + C 。 例 2  x 2 x dx = 25 x dx 1 25 1 25 1 + + 例 6 ． = x + C 例 3  3 x x dx = 34 - x dx 1 34 1 34 - + = - + x + C 3 3x 例 7 ． = - + C

∫U(x)士8(x)=八(士g(x,∫6(x)=(x)。 例8.jx(x2-5)=(x2-5×2 x2 dx-5x2 dx=x2dx-5 dx 2 10 xX x2+ C x√x+C。 3

[ f (x)  g(x) ]dx  f x dx g x dx   = ( )  ( ) ，  k f(x)dx = k f (x)dx 。 x dx x dx   = - 2 1 2 5 5 x dx x dx   = - 2 1 2 5 5 = x -  x 2 + C 3 2 7 3 2 5 7 2 = x x - x x + C 3 10 7 2 3 。 例 4 x(x 5)dx 2 -  (x 5x )dx 2 1 2 5  = - x dx x dx   = - 2 1 2 5 5 x dx x dx   = - 2 1 2 5 5 = x -  x 2 + C 3 2 7 3 2 5 7 2 = x x - x x + C 3 10 7 2 3 。 例 4 x(x 5)dx 2 -  (x 5x )dx 2 1 2 5  例8． = -

∫U(x)士8(x)=八(士g(x,∫6(x)=(x)。 例9.(x-1)3 x3-3x2+3x-1 - dx X =(x-3+ Dax X X N∫-3h+34、、 x2-3x+3lnx|+-+C 练习 习题五:2(1,3,5,7

[ f (x)  g(x) ]dx  f x dx g x dx   = ( )  ( ) ，  k f(x)dx = k f (x)dx 。 dx x x x ) 3 1 ( 3 2 = - + -  dx x dx x xdx dx     = - + - 2 1 1 3 3 2 2 1 = x -3x+3ln|x| x 1 + +C。 例 5 dx x x  - 2 3 ( 1)  - + - = dx x x x x 2 3 2 3 3 1 练习： 习题五：2(1, 3, 5,7) 例 5 dx x x  - 2 3 ( 1)  - + - = dx x x x x 2 3 2 3 3 1 例9．