三、不定积分的几何意义 函数x)的原函数的图 2xdx C 形称为(x)的积分曲线。 2+C 函数(x)的积分曲线也 有无限多条。函数(x)的不 定积分表示x)的一簇积分 曲线,而(x)正是积分曲线 1=x2+C 的斜率
-1 O 1 x y y=x 2 函数f(x)的原函数的图 形称为f(x)的积分曲线。 xdx =x + C 2 2 C1 y=x 2+C1 C2 y=x 2+C2 C3 y=x 2+C3 函数f(x)的积分曲线也 有无限多条。函数f(x)的不 定积分表示f(x)的一簇积分 曲线，而f(x)正是积分曲线 的斜率。 三、不定积分的几何意义
例4.求过点(1,3),且其切线斜率为2x的曲线方程 解:设所求的曲线方程为y(x),则y=f(x)=2x, 即(x)是2x的一个原函数 因为|2xhx=x2+C 所以y=(x)=x2+C。 1x+2 因为所求曲线通过点(1,3), 故 3=1+C,C=2 于是所求曲线方程为 1=x2+2。 2-1O
例4．求过点(1, 3)，且其切线斜率为2x的曲线方程。 解：设所求的曲线方程为 y=f(x)，则 y =f (x) =2x， 即f(x)是2x 的一个原函数。 因为所求曲线通过点(1, 3)， 故 3=1+C，C=2。 于是所求曲线方程为 y=x 2+2。 -2 -1 O 1 2 x -2 -1 1 2 y y=x 2+2 y=x (1, 3) 2 ． 因为 xdx = x + C 2 2 ， 所以y=f(x)=x 2+C
例5: r ar 解:容易看到(x3)y=3x2 两边除以3,得1(x3y=x2 求导数的性质 (af())=af(x), 得x3为x的一个原函数。 因此, x dx==x+c
例 5 ： x dx 2 解：容易看到 2 ( x )' 3 x 3 = 两边除以 3，得 3 2 ( ) 31 x ' = x 求导数的性质 得 3 为 2的一个原函数。 31 x x (af ( x))' = af'( x), x x = x + C 2 3 31 d y y=x 2x y 3 31 y = x x 因此
2.不定积分的性质: ∫((x)+g(x)dx=丁(x)dx+∫s(x)dx 2)「af(x)dx=af(x)dxa为常数 dr /f()dx=f(r) 「f"(x)dx=f(x)+C
2. 不定积分的性质： 1) 2) 3) 4) ( f (x) + g(x))dx = f (x)dx + g(x)dx f (x)dx = f (x)dx,为常数 ( )d ( ) d d f x x f x x = f ' (x)dx = f (x) +C
3.基本积分公式 积分公式 导数公式 1)jdx=kx+C(k为常数)1(k+c) x ax C+1 +C(a≠-1)2°(x4)y=(a+1) 3)dx=In|x|+C nx X> x <0 X
3. 基本积分公式 积分公式 导数公式 1 2 3 (kx + c)'= k (x )' ( 1)x 1 = + + 0 1 (ln ) = x x x ' 0 1 (ln(- )) = x x x ' kdx = k x + C (k为常数) ( 1) 1 1 d 1 + - + = + x x x C x x C x = + d ln | | 1 1) 2) 3)