《数学分析》课程教学资源（PPT课件）第八章 不定积分

原函数概念 定义1如果在区间I上,可导函数F(x)的导数为 f(x),即对任一x∈I,都有 F'(x=f(x)X dF(x)=f(x)dx 则称函数F(x)是函数f(x)在区间I上的原函数。 例如,在区间(-∞,+∞)内,因为(sinx)=cosx, 所以sinx是cosx的一个原函数 提问 csx还有其它的原函数吗? 提示: cosx的原函数还有sinx+C

例如，在区间 (-, +)内，因为 (sin x)=cos x， 所以 sin x是 cos x的一个原函数。 提问： cos x还有其它的原函数吗？ 提示： cos x的原函数还有sin x+C。 定义1 如果在区间 I 上，可导函数 F(x) 的导数为 f(x)，即对任一 xI ，都有 F (x)=f(x) 或 dF(x)=f(x)dx， 则称函数 F(x) 是函数 f(x) 在区间 I 上的原函数。 • 原函数概念

原函数概念 定义1如果在区间I上,可导函数F(x)的导数为 fx),即对任一x∈,都有 F'(x)=fx)di dF(x)=f(x)dx 则称函数F(x)是函数f(x)在区间I上的原函数 两点说明 1、如果F(x)是fx)的原函数,那么F(x)+C都是风x) 的原函数,其中C是任意常数 2、f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数,即如 果(x)和F(x)都是fx)的原函数,则qx)-F(x)=为 某个常数)

两点说明： 2、f(x) 的任意两个原函数之间只差一个常数，即如 果 (x) 和 F(x) 都是 f(x) 的原函数，则(x)-F(x)=C (C为 某个常数)。 1、如果F(x)是 f(x)的原函数 ，那么F(x)+C 都是 f(x) 的原函数，其中 C 是任意常数。 定义1 如果在区间 I 上，可导函数 F(x) 的导数为 f(x)，即对任一 xI ，都有 F (x)=f(x) 或 dF(x)=f(x)dx， 则称函数 F(x) 是函数 f(x) 在区间 I 上的原函数。 • 原函数概念

不定积分的概念 1.定义:设为某区间,称f(x)在上的原函数的 全体为()在上的不定积分,记作∫(x)d f(dx (3) 积分号被积函数积分变量 注1.(3)式中积分号下的f(x)dx,可看作是原函数 的微分。 注2符号f(x)dx与f(x)dx差别: 数 族函数

注2. 符号  与 差别： b a f (x)dx  f (x)dx 不定积分的概念 1. 定义：设I为某区间，称f (x)在I上的原函数的 全体为f (x)在I上的不定积分，记作  f (x)dx  f (x)dx 积分号 被积函数 积分变量 注1. (3)式中积分号下的f (x)dx, 可看作是原函数 的微分。 数 一族函数 (3)

定理1.设F(x)是f(x)在区间上的一个原函数,则 f(xdx= F(x)+c (4) 其中C为任意常数 y=F(x)+CI y=F(x)+C2 y=F(x) y=F(x)+C

定理1. 设F(x)是f (x)在区间I上的一个原函数，则 f x x = F x +C  ( )d ( ) (4) 其中C为任意常数 0 x0 y x y = F(x)+C1 y = F(x)+C2 y = F(x)+C3 y = F(x)+C4

如果F(x)是fx)一个原函数,则f(x)x=F(x)C 例1.因为sinx)=cosx,所以| cos xdx=sinx+C。 例2.因为(x)=32,所以j3xk=x2+C。 例3.求函数f(x)=-的不定积分。 解:当x>0时,(nx) dx=In x+C(x>0) 当x0时,p(x),=mx)+C(D 合并上面两式,得到「d=h|x|+C(x0

如果 F(x)是 f(x)的一个原函数，则 f (x)dx  =F(x)+C。 当 x<0 时，[ln(-x)] x x 1 ( 1) 1  - = - = ， dx x C x = - +  ln( ) 1 (x<0)。 合并上面两式，得到 dx x C x = +  ln | | 1 (x0)。 例 1 因为(sinx) =cosx，所以 xdx = x + C  cos sin 。 例 2 因为(x 3 ) =3x 2 ，所以 x dx = x + C  2 3 3 。 解：当 x>0 时，(ln x) x 1 = ， dx x C x = +  ln 1 解：当 x>0 时，(ln x) (x>0)； x 1 = ， dx x C x = +  ln 1 (x>0)； 当 x<0 时，[ln(-x)] x x 1 ( 1) 1  - = - = ， dx x C x = - +  ln( ) 1 当 x<0 时，[ln(-x)] (x<0)。 x x 1 ( 1) 1  - = - = ， dx x C x = - +  ln( ) 1 当 x<0 时，[ln(-x)] (x<0)。 x x 1 ( 1) 1  - = - = ， dx x C x = - +  ln( ) 1 当 x<0 时，[ln(-x)] (x<0)。 x x 1 ( 1) 1  - = - = ， dx x C x = - +  ln( ) 1 (x<0)。 例 1 因为(sinx) =cosx，所以 xdx = x + C  例1． cos sin 。 例 2 因为(x 3 ) =3x 2 ，所以 x dx = x + C  2 3 例2． 3 。 例 3 求函数 x f x 1 例3． ( ) = 的不定积分。 解：当 x>0 时，(ln x) x 1 = ， dx x C x = +  ln 1 解： (x>0)；