西要毛子律技大學XIDIANUNIVERSITY例5判断Pn的下列子集合哪些是子空间：W =((xi,x2,"",xn)x +x2 +..+xn = 0,x, e P)W, =((xi,x2,"",xn)xi +x2 +...+xn =1,x; e P)W, = ((xi,x2,"",xn-1,0)] x, e P,i =1,2,.",n-1)若为Pn的子空间，求出其维数与一组基
例5 判断Pn的下列子集合哪些是子空间： 1 1 2 1 2 {( , , , ) 0, } W x x x x x x x P = + + + = n n i 2 1 2 1 2 {( , , , ) 1, } W x x x x x x x P = + + + = n n i 3 1 2 1 {( , , , ,0) , 1,2, , 1} W x x x x P i n = = − n i − 若为Pn的子空间，求出其维数与一组基
西要毛子科技大枣-XIDIAN UNIVERSITYW=((x,x,,..,x)x+x,+..+x,=0,x,eP)事实上，Wi是n元齐次线性方程组Xi +X, +...+xn=0①的解空间．所以，维W,=n一1，①的一个基础解系ni =(1,-1,0,.,0), n2 =(1,0,-1,0,..,0),nn-1=(1,0,,0,-1)就是W,的一组基
1 1 2 1 2 {( , , , ) 0, } W x x x x x x x P = + + + = n n i 事实上，W1 是n元齐次线性方程组 的解空间. 所以，维W1 ＝n－1，①的一个基础解系 1 2 0 n x x x + + + = ① 就是W1 的一组基. 1 = − (1, 1,0, ,0), 1 (1,0, ,0, 1) n− = − , 2 = − (1,0, 1,0, ,0)
西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITYW,=((x,x,,.,x,)x+x,+...+x,=1,x,eP)而在W,中任取两个向量 α,β，设α =(x,x2,"",xn), β=(yi,J2,",yn)则 α+β=(xi + yi,X2 + y2,"",xn + yn)但是 (xi +yi)+(x2 + y2)+..+(xn + yn)=(x, +x, +...+x,)+(yi + y2 +... + y,) =1+1=2：α+βWz，故W,不是Pn的子空间
2 1 2 1 2 {( , , , ) 1, } W x x x x x x x P = + + + = n n i 而在W2中任取两个向量 , ，设 1 2 1 2 ( , , , ), ( , , , ) n n = = x x x y y y 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) n n 但是 x y x y x y + + + + + + 1 2 1 2 ( ) ( ) 1 1 2 n n = + + + + + + + = + = x x x y y y 1 1 2 2 ( , , , ) n n + = + + + x y x y x y 2 + W , 则 故W2不是Pn的子空间
西安毛子科技大学-XIDIAN UNIVERSITYW, ={(x.,x,,...,x-,0)x, P,i=1,2,...,n-1)首先 0 =(0,0,.,0) =W3, ..W, ±其次, Vα,βeW3,VkeP,设α =(xi,X2,"",xn-1,0), β=(y1,y2,.", yn-1,0)则有α+ β=(xi + y1,X, + y2,"",Xn-1 + yn-1,0)eW3kα = (kxj,kx2,..", kxn-1,0)e W故，W为V的一个子空间，且维W=n一1，8, = (0,.,0,1,0..,0), i =1,2,...,n-1就是W,的一组基
3 1 2 1 {( , , , ,0) , 1,2, , 1} W x x x x P i n = = − n i − 故，W3为V的一个子空间，且维W3 ＝n－1 ， 1 2 1 3 ( , , , ,0) n k kx kx kx W = − 1 1 2 2 1 1 3 ( , , , ,0) n n 则有 + = + + + x y x y x y W − − 其次， 3 , , , W k P 1 2 1 1 2 1 ( , , , ,0), ( , , , ,0) n n x x x y y y 设 = = − − 3 3 首先 0 (0,0, ,0) , = W W (0, ,0,1,0 ,0), 1,2, , 1 i i = = − i n 就是W3的一组基