fn→fae.于E (1) 对引理、叶果洛夫 定理及 Lebesgue定 →m(∪∩∪E k=1N=1n=NJn-/≥k 理的证明的说明 ,s.sM)=0(6)(2)人叶果洛夫定理的证明 N=In=M Lebesgue定理的证明 lim n(∪E N→>∞0 n=M IJn-f|≥E] )=0(3) 5)<(6) 下证明由(3)推出(2) 引理:m+∞ VE>0,由m(∩∪.E N=1n=Nf≥6] (1)(2)→(3)+(4) m(UE1Mn=2)→0N→∞) n 可知m(以E,=)=0
(1) (2) (3) (4) (5) (6) Lebesgue定理的证明 的证明 下证明 由 引理：mE<+∞ (3)推出(2) ( ) 0 ( ) 0 0, ( ) [| | ] 1 [| | ] [| | ] 1 f f N n N f f n N f f N n N n n n m E m E N m E 可知 （ ） 由 lim ( ) 0 (3) [| | ] f f N n N n m E ( ) 0 ( ) (2) ( ) 0 . . (1) [| | ] 1 [| | ] 1 1 1 f f N n N f f k N n N n n n k m E m E f f a e 于E
对引理、叶果洛夫定理及 Lebesgue定理的证明的说明 叶果洛夫定理的证明 N→n=1fn-f2a1)=0 limm(∪E (3) lebesgue定理的证明 fn→>fa.l.,JE(4 (5)+(6) 引理:E<+∞ 下证明由(4)推出(3) 由fn→fau于E可知: (1)(2)=(3)=(4) δ>0,彐可测子集ecE,me<o VE>0,K>0Vn≥K,x∈E-e,有|fn(x)-f(x)kE 从而当N≥时,m(∪ED2)≤m(UE=n2)≤me<6 A→=0M2/)=0注:叶果洛夫定理的逆定理成立 即limm(∪E
(1) (2) (3) (4) (5) (6) Lebesgue定理的证明 的证明 引理：mE<+∞ 下证明 由(4)推出(3) 0, 0, , , | ( ) ( ) | 0, , , K n K x E e f x f x e E me 有 n 可测子集 由f n f a.u.于E可知： [| | ] [| | ] ( ) ( ) n n f f f f n N n K N K m E m E me 从而当 时， f f a.u. E (4) n 于 lim ( ) 0 (3) [| | ] f f N n N n m E [| | ] lim ( ) 0 n f f N n N m E 即 的逆定理成立
注:a.叶果洛夫定理的逆定理成立,无论mE<+∞或mE=+∞ 即:若f/→4M于E,则→fae于E 几乎一致收敛 去掉某个小(任意小)测度集,在留下的集合上 Vδ>0,可测子集ecE,me<δ, 使得fn在E=E-e上一致收敛于f(x) 几乎处处收敛 去掉某个零测度集,在留下的集合上处处收敛 n→1=0
即：若 f n f a.u.于E，则fn f a.e.于E 去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛 ( ) 0, , , f E E e f x e E me 使得 n在 上一致收敛于 可测子集 去掉某个零测度集，在留下的集合上处处收敛 [ f f ] 0 n E