实变函数 第三章测度理论 第二节可测集合
第二节 可测集合 第三章 测度理论
Lebesgue外测度(外包 mE=nf{∑||:E<∪I且为开区间} VE>0开区间列,使得EcM1且mEs∑1|mE+ i=1 即:用一开区间列“近似”替换集合E 次可数可加性(即使An两两不交) m(,A,)≤∑mA
Lebesgue外测度(外包) n n n n m A m A * 1 1 * ( ) = = 次可数可加性(即使Ａn两两不交) inf{ | |: } 1 1 i i 且 i 为开区间 i i m E I E I I = = = 即：用一开区间列“近似”替换集合E + = = I E I m E I m E i i i i i * 1 * 1 0, 开区间列{ },使得 且 | |
1可测集的定义 若vTcR",有m7=m(⌒E)+m(T∩E ( Caratheodory条件),则称E为 Lebesgue可测集 此时E的外测度称为E的测度,记作mE E T∩E|T∩Ec 注: Lebesgue开始也是利用外测度与内测度相等定义可测 但此方法对处理问题很不方便,故我们采用上述方法
1.可测集的定义 注：Lebesgue开始也是利用外测度与内测度相等定义可测集， 但此方法对处理问题很不方便，故我们采用上述方法。 E E c T∩E T∩Ec , n 若T R ( ) ( ) * c m T = m T E + m T E 有 mE （Caratheodory条件） ，则称E为Lebesgue可测集， 此时E的外测度称为E的测度，记作
例:零集E必为可测集 证明:TcRn 有m7T≤m(TE)+m(TE) ≤m(E)+m(T)≤m(T) 从而mT=m(T∩E)+m(TE 即E为可测集。 NTcR,有m7=m(T⌒E)+m(T⌒E)
例：零集E必为可测集 * * * ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c m T m T E m T E m E m T m T + + 有 n 证明：T R * ( ) ( )c m T m T E m T E 从而 = + 即E为可测集。 , ( ) ( ) n * c T R m T = m T E + m T E 有
2. Lebesgue可测集的性质 a)集合E可测(即7cR",有m=m(TE)+m(T∩E) ≌→MAcE,BcE,有m(A∪B)=m(4)+m(B) 证明:(充分性) VCR 令A=T∩E,B=T∩E即可 (必要性)令T=A∪B
2.Lebesgue可测集的性质 证明：(充分性） n T R 令A = T E,B = T E c 即可 (必要性)令 T = A B A E,B E c ,有 ( ) ( ) ( ) * m A B = m A + m B , ( ) ( ) n * c T R m T = m T E + m T E （ 有 a）集合E可测（即 ）