实变函数 第二章n维空间中的点集 第二节开集与闭集
第二节 开集与闭集 第二章 n 维空间中的点集
4开集、闭集 若E=E,则称E为开集(E中每个点都为内点) 若E=E则称E为闭集(与E紧挨的点不跑到E外) P为E的接触点:V6>0,有On,E≠ P为E的聚点:y6>0.有Om06∩(E-{P)≠ P为E的内点6>0,使得O1nCE 由于E=E∪E=E∪{E的孤立点全体} 故E=E等价于EcE 说明:要证E是开集,只要证EcE因为EcE显然) 要证E是闭集,只要证EcE或EcE因为EcE显然)
⒋开集、闭集 ⚫P0为 E的接触点： ⚫P0为 E的聚点： ⚫P0为 E的内点： O( p , ) E 0 0, 有 O( p , ) E 0 0, 使得 0, ( , ) ( −{ 0 }) 0 有O p E p E E E E E E E E E = = = ' ' ' { } 故 等价于 由于 的孤立点全体 说明：要证E是开集，只要证 要证E是闭集，只要证 E E (因为E E显然) E' E或E E(因为E E显然) E = E 若Eº = E , 则称E为开集（E中每个点都为内点) 若 ,则称E为闭集（与E紧挨的点不跑到E外）
例:开区间(a,b)为开集 证明:任取x∈(ab)取8-min{|x-a,x-b}, 6) C(a, b) 从而x是(ab)的内点, 故(a,b)是开集。 说明:要证E是开集,只要证EcE(因为EcE显然
例：开区间(a,b)为开集 说明：要证E是开集，只要证 E E (因为E E显然) a x b ( , ) O( x, ) a b 证明：任取x∈(a,b),取δ=min{|x-a|,|x-b|}, 则 , 从而x是（a,b）的内点， 故(a,b)是开集
例:闭区间[a,b]为闭集 证明:任取x∈[ab]取δ-min{kxax-bl}, 则Qxb)∈[abf 从而x不是ab]的接触点, 从而ab]的接触点都在[a,b内,a 从而[a,b]是闭集。 说明:要证E是闭集,只要证 EcE或Ec(E)或ECE或Ec(E)(因为EcE显然)
例：闭区间[a,b]为闭集 说明： 要证E是闭集，只要证 ' ' ( ) ( ) ( ) c c c c E E E E E E E E E E 或 或 或 因为 显然 a b x c O x [a,b] ( , ) 证明：任取x∈[a,b]c ,取δ=min{|x-a|,|x-b|}, 则 , 从而x不是[a,b]的接触点， 从而[a,b]的接触点都在[a,b]内， 从而[a,b]是闭集
注:闭集为对极限运算封闭的点集 ●即:A为闭集当且仅当A中的任意收敛点列收敛于A中的点 若E=F(或EcE),则称E为闭集。 (与E接近的点不跑到E外) 利用: p为E的接触点的充要条件为存在E中点列{p},使得mP=P 或 p是E的聚点的充要条件为存在E中的互异的点所成的点列{使mP=P
注：闭集为对极限运算封闭的点集 ⚫ 即：A为闭集当且仅当A中的任意收敛点列收敛于A中的点 利用： p0为E的接触点的充要条件为存在E中点列{pn}, 使得 或 p0是E的聚点的充要条件为存在E中的互异的点所成的点列{pn}, 使 得 0 lim pn p n = → 0 lim pn p n = → 若 （或 ）,则称E为闭集。 （与E接近的点不跑到E外） E = E E E