实变函数 第一章集合及其基数 第四节不可数无穷集
第四节 不可数无穷集 第一章 集合及其基数
1不可数集的存在性(区间0,1是不可数集) 0 l/3 2/3 证明:假设[0,1是可数集则p0,1可以写成一个无穷 序列的形式:{x,x2,…xn2… 将O三等分,取其中一个不含点x的闭区间,记为 再将1三等分,取其中一个不含点x的闭区间,记为2, 这样继续下去得到一个闭区间套: [O11→l2 |n= 、3,, l(n=1,2,…
[01] , 1 1 将 ，三等分，取其中一个不含点x的闭区间，记为I , 1 2 2 再将I 三等分，取其中一个不含点x 的闭区间，记为I [0,1] I1 I2 In 这样继续下去得到一个闭区间套： , ,( 1,2, ) 3 1 | I n |= n xn I n n = 1 不可数集的存在性(区间[0,1]是不可数集) [ ][ ][ ] 0 1/3 2/3 1 { , , , , } x1 x2 xn 证明：假设［0,1］是可数集,则 [0,1] 可以写成一个无穷 序列的形式：
由区间套定理,存在唯一点x∈∩n=01 n=1 根据假设,应存在m,使得xn1=x0 因此有xm∈∩1而这与xL相矛盾 2=1 所以0不是可数集 0 1/3 2/3
, , 0 0 0 n x x 根据假设，应存在 使得 n = [0,1], 1 0 = n n 由区间套定理，存在唯一点x I 因此有 0 ,而这与 0 0 相矛盾。 1 n n n n n x I x I = 所以[0,1]不是可数集. [ ][ ][ ] 0 1/3 2/3 1
数的进位制简介 第一次十等分确定第一位小数 第二次十等分确定第二位小数 十进制小数相应于对0,1]等分 二进制小数相应于对[0,1]二等分 三进制小数相应于对[0,1三等分 说明:对应[O,1]十等分的端点有两种表示,如 0.2000000 0.1999999 (十进制小数)
数的进位制简介 ⚫ 十进制小数 相应于 对[0,1]十等分 ⚫ 二进制小数 相应于 对[0,1]二等分 ⚫ 三进制小数 相应于 对[0,1]三等分 说明：对应[0,1]十等分的端点有两种表示，如 0.2000000… 0.1999999… （十进制小数） 第一次十等分确定第一位小数 第二次十等分确定第二位小数
不可数集的存在性的另一种证明 证明:假设(0,1)是可数集,则(0,1)可以写成一个无穷 序列的形式:{x12x2…xn2… 把每个数写成正规小数(不能以0为循环节) 1 O 11c12130114 令x=0.a1a2a34 其中 Oa214 2 1221230124 nn I a.+ O 312324330134 则得到矛盾,所以 (0,1)是不可数集 4 O 241442143144
不可数集的存在性的另一种证明 证明：假设（0,1）是可数集,则 （0,1） 可以写成一个无穷 序列的形式： 把每个数写成正规小数（不能以0为循环节） { , , , , } x1 x2 xn x a a a a 1 11 12 13 14 = 0. x a a a a 2 21 22 23 24 = 0. x a a a a 3 31 32 33 34 = 0. x a a a a 4 41 42 43 44 = 0. , , , 令x=0.a1 a2 a3 a4… 其中 2 1 1 1 { = = n n n n a an a 则得到矛盾，所以 (0,1)是不可数集