实变函数 第二章n维空间中的点集 第三节点集间的距离
第三节 点集间的距离 第二章 n 维空间中的点集
Cantor集 对[0,1区间三等分,去掉中间一个开区间 然后对留下的两个闭区间三等分,各自去掉中间一个开区间, 此过程一直进行下去,最后留下的点即为 Cantor集
Cantor集 对[0,1]区间三等分，去掉中间一个开区间， 然后对留下的两个闭区间三等分，各自去掉中间一个开区间， 此过程一直进行下去，最后留下的点即为Cantor集
1 Cantor集 1)定义:令G=U(m n, I 称P=[0,1]-G[0,1]G为 Cantor集 第n次去掉的开区间留下的闭区间 (1) (1) 2 72)t=1,2…22 n (n 1,2,…21)=1,2,…2
1.Cantor集 第n次 去掉的开区间 留下的闭区间 1 2 n I (1) i =1 i 1,2 (1) I i i = (2) 2 1,2 I i i =1,2, 2 I (2) i = i 1 ( ) 1,2, 2 i n n I i − = n n i I i 1,2, 2 ( ) = i n n i G I ( ) , ⑴定义：令 = 称P=[0,1]- G=[0,1]∩Gc 为Cantor集
(2) Canto集的性质 n124 a.分割点一定在 Cantor集中 二 Cantor集P=[0,1]G=[0,1]nG为闭集 b.P的“长度”为0,去掉的区间长度和 2 2 n=1 注:第n次共去掉2n个长为1/3的开区间
⑵Cantor集的性质 i n n i G I ( ) , = a .分割点一定在Cantor集中 Cantor集P=[0,1]- G=[0,1]∩Gc为闭集 注：第n次共去掉2 n-1个长为1/3n的开区间 1 1 2 3 1 3 2 3 1 1 1 = − = − = n n n b. P的“长度”为0，去掉的区间长度和
C.P没有内点 证明:对任意x∈P,x必含在“去掉手续 进行到第n次”时留下的2n个长为1/3的互 不相交的某个闭区间中/m VE>0,当<E时,有cOx, 但由 Cantor集的作法知,我们要对继续三等分去掉 中间一个开区间,从而内至少有一点不属于P, 所以x不可能是P的内点。 第n次等分留下的区间 X-8 xX+e 第n+1次等分去掉的区间
c. P没有内点 ( ) x-ε x x+ε 第 n+1次等分去掉的区间 第n次等分留下的区间 1 ( ) 3 0, n n i I O 当 时，有 （x, ） 但由Cantor集的作法知，我们要对继续三等分去掉 中间一个开区间，从而 内至少有一点不属于P， 所以x不可能是P的内点。 O（x,） ( ) n i I 证明：对任意x ∈ P, x必含在“去掉手续 进行到第n次”时留下的2 n个长为1/3n的互 不相交的某个闭区间中