目录第7章多项式环81：一元多项式环的概念及其通用性质O82整除性，带余除法阅读材料一：整数环中的带余除法14.93最大公因式1522阅读材料二：最大公因数244不可约多项式，唯一因式分解定理28阅读材料三：算术基本定理2985重因式3356多项式的根，复数域上的不可约多项式8740实数域上的不可约多项式·88有理数域上的不可约多项式41.g949多元多项式环g10对称多项式57$11模㎡剩余类环，域，域的特征67第8章线性空间7272S1线性空间的结构g282子空间及其交与和，子空间的直和83线性空间的同构9196阅读材料四：有限域的元素个数9694商空间101阅读材料五：线性码第9章线性映射10610681线性映射及其运算11382线性映射的核与象.116$3线性映射的矩阵表示123阅读材料六：两两正交的幂等变换的条件12784线性变换的特征值与特征向量，线性变换可对角化的条件：13185线性变换的不变子空间
目录II13786Hamilton-Cayley（哈密顿-凯莱）定理1408.7线性变换的最小多项式14898幕零变换的结构99153线性变换的Jordan标准形160$10线性函数与对偶空间第10章具有度量的线性空间166166$1双线性函数17452欧几里得空间18193正交补，正交投影18594正交变换与对称变换188阅读材料七：正交变换的最简单形式的矩阵表示19295酉空间，酉变换，Hermite（埃尔米特）变换.200正交空间与辛空间*86阅读材料八：特征为2的域F上n维线性空间V上的对称双线性函数的度量204矩阵的最简单形式习题答案与提示209参考文献246
第7章多项式环在古典代数学里，多项式的求根是一个中心问题.在近世代数学里，多项式环是一类重要的环.在数学分析中，用多项式函数逼近一般的n阶可微函数.在当今信息时代，多项式在计算机科学、现代通信、编码和密码等领域中都有重要应用.本章研究一元多项式环和多元多项式环的结构.最后一节将介绍有限域等概念81一元多项式环的概念及其通用性质观察下列表达式有什么不同之处：-+++(1)其中x是一个符号：2，-i+p+1其中i=-l：(2)2，U-A"+A +I,其中A=((3)20-1经过简单的计算，从（2）（3）式分别得出-P+P++=i-1(4)223-A'+A"+}I=-A+(5)22由此看出，对于i的表达式或矩阵A的表达式来说，相等的两个表达式可以含有不同的项，而对于x的表达式，为了使它有广泛应用，希望它不出现这种情况，即希望这种表达式的表示方式唯一，为此数学上引出如下概念：定义1设K是一个数域，×是一个不属于K的符号.任意给定一个非负整数n，在K中任意取定a.，a..…,a.，表达式(6)a.x"+a.-ix"-+.+a,x+ao称为数域K上的一个一元多项式，如果它具有下述性质：两个这种形式的表达式相等当且仅当它们除去系数为零的项外含有完全相同的项，而系数为零的项允许任意删去和添进来.此时，符号x称为不定元系数全为零的多项式称为零多项式，记为0
2第7章多项式环在多项式（6）中，ax称为i次项，i=1，，n；a。称为零次项，也称为常数项.从定义1知道，数域K上两个一元多项式相等当且仅当它们的同次项的系数都相等.我们常常用（x），g（x），或f.g，.表示一元多项式设(x）表示多项式（6）.如果a。半0.则称ax"为多项式f(x）的首项：n称为f（x）的次数，记作deg（x）或degf零多项式的次数定义为一80，并且规定(-8)+(-8)=-8(-8)+n=-8<n,其中n是任意非负整数零次多项式是a，其中aEK且a+o我们把数域K上的所有一元多项式组成的集合记作K[x1.在KIxI中规定加法与乘法运算如下：设Tb,xf(x) =ax,g(x) =0不妨设n≥m，则defW(a)+b,)x(7)f(x) +g(x)=def(8)f(x)g(x)称f（x）+g（x）是f（x）与g（x）的和，称f(x）g（x）是f（x）与g（x）的积容易验证上面所定义的多项式的加法与乘法满足下列运算法则：V，heK[x],有10加法交换律，即+g=g+f；2°加法结合律，即（f+g）+h=f+（g+h）：3°零多项式具有性质：0+f=f+0=f；4140设f(x)=ax,定义-f(x)=（-a)x,则f+(-f)=(-f)+f=0,称一f是的负元；5°乘法交换律，即fg=gf；6°乘法结合律，即（fg）h=/（gh）；
$1一元多项式环的概念及其通用性质37°零次多项式1具有性质：1f=/1=f：8°乘法对于加法的分配律：f(g+h)=fg+fh,(g+h)f=gf+hf多项式的减法定义如下：deff-g-f+(-g)(9)命题1设f(x)，g(x)K[x],则(10)deg(f±g)≤max /degf,deg gi,deg(fg)=deg f+degg(11)证明如果f=0或g=0，则（10）（11）式显然成立.下面设f半0且g半0.设f(x)= ax, g(x) = brt,其中a.o,bm0.于是degf=n，degg=m，不妨设n≥m.由于(x) ±g(x) = Z (a,±b,)x,因此deg(f±g)≤n=max/degf,deggl由于ab手0，因此abmx+是f(x）g（x）的首项.从而1deg(fg)=n+m=degf+degg从命题1的证明过程中可看出，如果￥0且g手0，则/g≠0.由此得出，多项式的乘法适合9°消去律，即如果fg=fh且f+0，则g=h/证明从fg=fh得f(g-h）=0.由于￥0，因此g-h=0.即g=h.观察下列集合有什么共同点：整数集Z；del|2m|meZ;偶数集2Z=数域K上所有一元多项式组成的集合K[x]数域K上所有n级矩阵组成的集合M,（K）在集合Z，2ZKx]，M（K)中都有加法和乘法运算，并且它们满足加法结合律，加法交换律，有零元，每个元素有负元，还满足乘法结合律，乘法对于加法的左、右分配律我们想抓住Z,2Z，K[x]，M，（K）的共同点抽象出一个概念，为此需要搞清楚什么是集合的一种运算.从整数的加法2+3=5，乘法2×3=6，受到启发，引出集合S的运算的概念：