第二版前言II在第9章我们讲线性映射（包括线性变换和线性函数）的理论.首先从几何空间在xOy平面上的正投影P：（x，y，z）→（x，y,o），以及连续函数f（x）的定积分「f(x)dx引出线性映射的概念；接着讲线性映射的运算，指出域F上线性空间V到V的所有线性映射组成的集合成为域F上的一个线性空间，而域F上线性空间V上的所有线性变换组成的集合既是域F上的一个线性空间，又是一个有单位元的环，这是从总体上研究线性映射的结构.其次我们又研究单个线性映射的结构：一方面研究由V到V的一个线性映射A决定的两个子空间：A的核KerA（它是V的一个子空间）和A的象ImA（它是V的二个子空间），推导出线性映射的维数公式dimV=dimKerA+dimImA；另一方面研究域F上n维线性空间V上的线性变换A的矩阵表示，以及V到V的线性映射A的矩阵表示，着重研究V中是否存在一个基，使得线性交换A在此基下的矩阵具有简单的形式.从线性变换A的特征值和特征向量的概念推导出，A可对角化的充分必要条件是V可以分解成A的特征子空间的直和，而A的特征子空间V中每个向量在A下的象仍在V中，由此引出A的不变子空间的概念，并且指出研究不可对角化的线性变换A的结构，其思路是研究V能不能分解成A的不变子空间的直和，由于对于任意f（x）EF[x]，都有Kerf（A）是A的不变子空间，并且如果（x）能分解成两两互素的多项式J（x）/（x），，/（x）的乘积，则有Kerf(A)=Kerf(A)Kerf,(A)@...OKerf(A),且Ker0=V因此如果能找到一个多项式f（x），使得fA）=0且fx）有上述分解，则V=KerJ,（A)④·④KerJ.（A）.于是引出A的零化多项式的概念，进而引出A的最小多项式的概念利用A的最小多项式m（x）在FxI中的因式分解，研究了A在V的适当基下的矩阵的简单形式·如果m（x）在Fx中能分解成一次因式的乘积，则V中存在一个基，使得A在此基下的矩阵为Jordan形矩阵，称它是A的Jordan标准形.在证明这一结论时，我们把它归结为研究幂零变换的结构.此外，我们把线性函数也放在第9章中，因为域F上线性空间V上的线性函数f就是V到F的一个线性映射，这样我们可以把有关线性映射的结论直接用到线性函数的性质和线性函数空间（V的对偶空间）的结构的研究上.在第10章我们讨论如何分别在实数域、复数域、任意域上的线性空间中引进度量概念，研究具有度量的线性空间的结构，并且研究与度量有关的线性变换的性质.在这一章的第1节讲双线性函数的概念和性质，以及对称双线性函数和斜对称双线性函数的结构.第2节对于实数域上的线性空间V，把V上的一个正定对称双线性函数称为V上的一个内积：V上如果给定了一个内积，则称V是一个实内积空间，有限维的实内积空间称为欧几里得空间在实内积空间V中，可以引进长度、角度、正交距离等度量概念：在欧儿里得空间V中，存在标准正交
IV第二版前言基，它比一般的基有许多优越之处：计算内积简单，向量的坐标的分量可以用内积表达.第3节利用有限维子空间U及其正交补U来刻画实内积空间V的结构：V=UU+，由此引出正交投影的概念，并介绍其应用.第4节研究实内积空间中的正交变换和对称变换.第5节讨论在复数域上的线性空间中如何引进内积的概念，给定了一个内积的复线性空间称为西空间，有关实内积空间的许多结论可以平行搬到酉空间上.第6节讨论如何在任意域上的线性空间中引进度量概念：域F上线性空间V如果指定了一个对称双线性函数，则称V是一个正交空间：如果指定了一个斜对称双线性函数，则称V是一个辛空间.这一节加了*号，不必在课堂上讲，供有兴趣的学生自己阅读，我们还写了五个阅读材料，前三个是关于整数环中的带余除法，最大公因数，唯一因子分解定理，阅读材料四是利用有限维线性空间同构的充分必要条件证明有限域的元素个数是一个素数的方幂，阅读材料五是利用线性空间的子空间及其陪集讨论线性码的编码和译码方法，这些阅读材料不必在课堂上讲，供学生自己阅读，下册的第二版比第一版在内容上作了精选，由原来共八章精选成四章，着重讲述最基本的和应用广泛的内容.对于每一节配备的习题也作了精心挑选，在书末附有习题解答和提示。我们认为高等代数课程的教学目标，既要让学生掌握这门课程的基础知识和基本方法，又要培养他们具有数学的思维方式：只有按照数学的思维方式去学习数学，才能学好数学；而且学会数学的思维方式，有助于他们把今后肩负的工作做好，从而使他们终身受益，本书按照数学的思维方式编写每一节的内容，使学生在学习高等代数知识的同时，受到数学思维方式的熏陶，日积月累地培养学生的数学思维方式本书（上册和下册）可作为综合大学、理工科大学和师范院校的数学科学学院（或数学系、应用数学系等）的高等代数课程的教材：上册供第一学期使用，下册供第二学期使用.每学期的周学时可为4+2或4+1或4（4+2是指每周讲课4学时，习题课2学时，4+1的含意类似）.作者裹心感谢本书的责任编辑季蕊和胡乃冏同志，他们为本书的编辑出版付出了辛勤劳动作者热诚欢迎广大读者对本书提出宝贵意见，丘维声于北京大学数学科学学院2003年4月
第一版序言为了把学生培养成为面向21世纪的高水平人才，作者积多年讲授高等代数、抽象代数和群表示论等课程的经验以及从事科研工作的体会，写了一套高等代数讲义，用这套讲义给北京大学数学系和概率统计系94级学生讲授高等代数课，取得了很好的教学效果.接着又给这两个系的95级学生讲授此课，进一步修改这套讲义，现分上、下两册出版，这套教材从我国的实际情况出发，面向21世纪，尝试对高等代数的教学内容进行一些改革，主要有以下几方面：努力使教材现代化.21世纪的人才需要掌握现代数学的思想和方法.为此，本书注意渗透现代数学的一些基本思想和观点，例如，用等价关系把集合划分的思想，从代数结构着眼处理问题的思想，同构分类的思想，态射（保持运算的映射）的观点等，用现代的观点组织和讲授传统的教学内容，例如，通过讨论子空间的结构证明线性方程组有解判别定理：按照矩阵的相抵关系、相似关系、合同关系分别讨论矩阵的相抵分类、相似分类和合同分类，并且寻求每一种关系下的完全不变量；运用线性空间的同构分类思想证明城F上任一n维线性空间V与它的对偶空间V同构，以及V与它的双重对偶空间V同构：在讲一元多项式的概念时，用态射的观点阐述一元多项式环的通用性质：用环同构的观点讨论数域K上的多项式与多项式函数之间的关系，等等，本书还注意渗透现代数学的二些基本概念例如，线性流形、商集等概念：结合高等代数的具体对象水到渠成地先后引进了抽象代数的一些基本概念：在一元多项式的概念之后引进环的概念；在讲完多项式环之后引进任意域和有限域的概念，以及域的特征的概念；在讲了线性变换的运算后引进域上的代数的概念：在最后一章当学生已经熟悉了正交变换、酉变换和辛变换的性质后，引进群和子群的概念，力图在教材中体现代数与几何、分析的联系21世纪的数学，分析、代数、几何将会更加相互渗透和有机结合，因此要使学生从大学一年级开始就逐步培养把代数与儿何、分析联系起来的能力.书中注意从儿何直观或分析背景引出高等代数讨论的问题，在讲述高等代数的概念时列举几何或分析的例子，把高等代数的结论应用于解决几何或分析的问题，例如，介绍了行列式的几何意义：从几何空间的结构引出向量空间的基的概念：运用线性方程组的理论解决一些几何间题；从平面旋转的合成引出矩阵乘法的定义；从二次曲面方程的化简引出实对称矩阵的对角化以及实二次型通过正交替换化成标准形的问题，并且运用所得到
1第一版序言的代数结论解决二次曲面方程的化简间题：从函数极值问题引出正定（负定）二次型的概念，并且运用正定（负定）矩阵解决多元函数的极值间题：在讲线性相关性时，讲述了n个几1次可微函数线性无关的充分条件：从几何空间中的例子引出商空间的概念等等，为了将线性代数的理论应用到分析上，为泛函分析打下基础，本书讨论的线性空间可以是无限维的，尽量不加有限维的限制注重联系实际，加强应用面向21世纪，数学系不仅要培养从事数学科研和教学的人才，面目要培养在其他领域工作的人才：因此要努力培养学生运用数学理论解决实际问题和其他领域中的间题的能力.本书在讲完线性方程组的理论后，用它解决平板受热间题：讲了矩阵可对角化的条件后，用它解决色育遗传间题：在讲了矩阵的运算之后，解决区组设计、图论、数论中的一些问题：在讲了一元多项式环的通用性质后，用它证明组合数的一些公式，等等，考虑到矩阵在实际问题和许多领域中有广泛应用，本书不仅把矩阵贯穿始终，而且把矩阵的运算，矩阵的相抵分类、相似分类、合同分类集中在一起讲授，并且加强了矩阵的分块，矩阵的“打洞"以及巧用特殊矩阵的训练：讲述了Binet-Cauchy公式及其应用，考虑到有限域上的线性空间在计算机以及通讯编码中有重要应用，书中讨论的线性空间是任意域上的，不局限于数域.考虑到现代物理以及一些数学分支中的需要，加强了酉空间的内容，介绍了作为爱因斯坦相对论基础的Minkowski空间，并且讨论了一般的正交空间，以及辛空间。提高数学素质，加强能力培养，21世纪所需要的人才应当有较高的数学素质和较强的分析问题、解决问题的能力.数学素质包括提出数学问题、理解力、逻辑思维、抽象思维、创造性等几个方面，为了从大学一年级开始就着力培养学生的数学素质，本书在每一单元的开头都要提出问题，然后阐述解决间题的想法，经过抽象思维和逻辑思维一步一步地去解决这些问题，书中特别注意讲清楚想法（idea）.例如，在研究线性方程组有无解的判定时为什么会想到去研究n元有序数组的向量空间的结构？在讨论有理系数多项式的因式分解时怎么会想到引进本原多项式的概念？在研究不可以对角化的线性变换的结构时如何想到最小多项式的因式分解并且讨论相应线性变换的多项式核之间的关系？复线性空间上内积的定义为么与实线性空间上内积的定义不同？在任意域上的线性空间中如何引进度量？为什么只有两种度量：对称双线性函数或者斜对称双线性函数，而不用一般的双线性函数？等等，书中都给予了清晰的回答，为了培养学生的阅读、理解能力和扩大知识面，书中有较多的例题，并且有密切配合正文的加“*”号的章节内容和一些阅读材料.有些例题不必在课堂上讲授，留给学生自已看，加“*”号的内容和阅读材料不作为教学要求，供有兴趣的学生自学，本书配备了相当丰富的习题（每一节后面配有习题，每一章后面还有补充题），有的是为了使学生理解正文的概念，掌握正文中的定理和方法，学会重要的解题方法
第一版序言IⅢI和技巧：有的是正文内容的补充和拓宽：有的是应用通过做题可以培养学生分析问题和解决问题的能力，习题中加“*”号的题以及补充题不作为教学要求，供学生选做，本书内容的安排力求符合人们认识事物的客观规律，学生从中学进入大学，有一个学习方法的适应过程，为了帮助学生树立信心适应大学的学习，我们把高等代数研究的具体对象放在前半部分，而把抽象对象放在后半部分.全书分为四部分，第一部分是线性方程组，几元有序数组的向量空间和矩阵的理论，包括线性方程组的解法、行列式、几元有序数组的向量空间、线性方程组的理论矩阵的运算、矩阵的相抵分类与相似分类、二次型与矩阵的合同分类，第二部分是一元多项式环与多元多项式环的理论：第三部分是线性空间和线性映射的理论，包括任意域上的线性空间、线性映射和线性变换、线性变换的Jordan标准形、线性函数和双线性函数.第四部分是具有度量的线性空间的理论，包括欧几里得空间、酉空间、正交空间、辛空间，本书可作为大学数学系、概率统计系、应用数学系的高等代数教材，上、下册共讲授两个学期：还可作为大专院校有关教师和学生的参考书。作者衷心感谢刘旭峰博士，他通读了全书，并提出了一些宝贵的建议，特别要感谢本书的责任编辑胡乃冏，他为本书的编辑出版付出了辛勤的劳动书中可能会有考虑不周和疏漏之处，热诚欢迎同行和读者批评指正.丘维声1996年2月于北京大学燕北园