4第7章多项式环定义2设S是一个非空集合，从S×S到S的一个映射称为S的一个代数运算，从Z，2Z，K[x1M，（K）的共同点，我们抽象出下述概念：定义3设R是一个非空集合，如果它有两个代数运算，一个叫做加法，记作a+6，另一个叫做乘法，记作ab：并且这两个运算满足下列6条运算法则：Va,b,ceR,有10加法结合律，即（a+b）+c=a+（b+e）；2°加法交换律，即a+b=b+a;3°在R中有元素0.使得a+0=a，称0是R的零元；4°对于a.在R中有元素d.使得a+d=o，称d是a的负元，记作-a：5°乘法结合律，即（ab）c=a（be）：6°乘法对于加法的左、右分配律，即a(b+c)=ab +ac,(b+c)a=ba+ca,则称R是一个环容易证明，环R中的零元是唯一的，每个元素α的负元是唯一的Z,2Z，K[x】，M（K)都满足定义3的条件，因此它们都是环，分别叫做整数环，偶数环，数域K上一元多项式环，数域K上n级全矩阵环任意一个数域K也是环，环R中的减法定义成defa-b=(12)-a+(-b)环R中的乘法如果还满足交换律，即ab=ba,Va,beR.则称R是交换环环R中如果有一个元素e具有性质：(13)ea=ae=a,VaeR,则称e是R的单位元.此时称R是有单位元的环，在有单位元的环R中，单位元是唯一的，通常就记作1.环R中的元素a称为一个左零因子（右零因子），如果R中有元素b≠0，使得ab=0（ba=0）.左零因子和右零因子都简称为零因子.容易证明，0既是左零因子，又是右零因子，称0是平凡零因子：其余的零因子称为非平凡的零因子，如果环R没有非平凡的零因子，则R称为无零因子环。有单位元1（≠0）的无零因子的交换环称为整环Z,Kx]K都是整环.2Z.M（K）不是整环
581一元多项式环的概念及其通用性质在整数环乙中，全体偶数组成的集合对于整数的加法和乘法也成为一个环，一般地，我们有下述概念：定义4如果环R的一个非空子集R，对于R的加法和乘法也成为一个环，则R，称为R的一个子环从定义4知道，如果R是环R的一个子环，则R的加法（乘法）也是R，的加法（乘法），再从定义2知道，这意味着a,beR,a+beR,.且abeR,此时称R，对于R的加法和乘法封闭可以证明：命题2环R的一个非空子集R，为二个子环的充分必要条件是，R，对于R的减法与乘法都封闭，即a,beR,a-beR,,abeR,.*证明必要性.设R，是环R的一个子环，上面已指出R，对手R的加法和乘法封闭.任给a，bER，由于R，是R的子环，因此OeR，，于是-bER，从而a-b=a+（-b）eR.即R对于R的减法封闭充分性.设R，对于环R的减法和乘法封闭.由于R，非空集，因此有cER，从而o=c-ceR,任给beR,，则-b=0+（-b)=0-beR,任给a,beR.有abeR并且a+b=a-（-b）eR因此R的加法和乘法限制到R，上，成为R，的加法和乘法，由于R的加法满足交换律和结合律，R的乘法满足结合律和左、右分配律，因此R，的加法也满足交换律和结合律，R，的乘法也满足结合律和左、右分配律，上面已证R的零元0ER，，因此0是R，的零元.上面已证，任给bR，有-beR，，因此R，的每个元素6在R，中有负元-b.1综上所述得，R，是一个环.于是R，是R的一个子环，KIxI中所有零次多项式添上零多项式组成的集合S，对于多项式的减法与乘法封闭，因此S是KIx]的一个子环.显然K[x]的单位元1属于S，从而1也是S的单位元我们可以建立数域K到S的一个对应法则G：让非零数a对应到零次多项式a，让数0对应到零多项式.显然是双射，并且保持加法与乘法运算，即a(a+b)=g(a)+g(b),Va,beK;g(ab)=o(a)g(b),Va,beK给定AEM（K），形如下述的表达式称为数域K上矩阵A的多项式：a.A"+am-A"-I+...+a,A+a,l,其中m是非负整数，a,EK，i=0,1，"，m.把数域K上矩阵A的所有多项式组成的集合记作KIA]，即
6第7章多项式环K[A]-deria.A"+..+a,A+a.l|meN,a,eK,i=o,l,",ml.Ia,A,g(A) =设(A)=b,A.不妨设m≥l.从矩阵的运算法则可得出0f(A) -g(A) = (a,-b,)At,(14)J(A)g(A) = Z(a,b)4)(15)Z因此K[AI是M（K)的一个子环.显然IEK[A].从（15式容易看出，f(A）g（A）=g（A)f(A).因此KIAI是有单位元的交换环K[AI中所有数量矩阵组成的集合W，对于矩阵的减法与乘法封闭，因此W是K[A]的=个子环.显然IeW.我们可以建立数域K到W的一个对应法则al.显然T是双射，并且保持加法与乘法运算：T:aHT(a+b)=(a+b)l=al+bl=t(a)+r(b),T(ab)=(ab)l=(al)(b)=T(a)T(b)从数域K到S的映射g，数域K到W的映射T的共同点，我们抽象出下述概念：定义5如果环R到环R有一个双射，使得g(a+b)=g(a)+g(b),Va,beRg(ab)=g(a)g(b),Va,beR,那么称α是R到R'的一个环同构映射，此时称环R与环R'是同构的，记作RR'上述讨论表明，数域K到S的映射g，数域K到W的映射都是环同构映射.命题3若环R到环R有一个环同构映射g，并且R有单位元e.则α（e)是环R的单位元证明任取aR.由于g是满射，因此存在aeR，使得g（a）=a于是g(e)a'=g(e)g(a)=g(ea)=g(a)=a1同理，ag（e）=a因此g（e）是R的单位元在Kx中，根据多项式的乘法的定义，以及多项式的加法和乘法满足的运算法则，得(2x+3)(x+5）=2x2+10x+3x+15=2x2+13x+15(16)设AeM（K），在K[A]中，根据矩阵乘法的定义及其分配律等，得(2A+3/)(A+5/)=2A+10A/+3IA+(3/)(5/)=2A2+13A+151.(17)（17）式的计算过程与（16）式的计算过程类似.这促使我们想：能不能不必进行
7S1一元多项式环的概念及其通用性质（17）式的计算过程，而从（16）式的计算结果直接得出（17）式的结果呢？可以的！在（16）式中，x用矩阵A代人，每一项的系数换成它在K到W的环同构映射T下的象，就直接得到了（17）式.由此受到启发，我们猜测并且来证明数域K上一元多项式环Kx1的下述重要性质，称它为一元多项式环.Kx1的通用性质：定理4设K是一个数域，R是一个有单位元1的交换环，并且K到R的一个子环R（它含有1）有一个环同构映射T.任意给定1ER，令K[x]+Rq:defEax-(a)nf(x)=f()-0则α,是K[]到R的映射；并且,保持加法与乘法运算，即如果f(x)+g(x)=h(x),f(x)g(x)=p(x),那么有f(t)+g(t)=h(t),f()g(t)=p(t);此外，g（x）=t.我们把映射g叫做x用代入证明由于K[x]中每个元素(x)写成a,x的表示法唯一（除了系数为0的项以外），并且是K到R，的映射，因此，是K[x]到R的一个映射.据，的定义，得G,(x)=g,(1x)=T(1)=1't=t.IE a,x,g(x) =bx.不妨设n≥m.则设f(x）=0h(x)=f(x)+g(x)=(a,+b)xap(x) =f(x)g(x) =ab.1据，的定义，以及T保持加法和乘法运算，得Z-(a,+b,)t=[t(a,) +t(b)]eh(t)=Zr(a,)r+ (b)-0=f(t) +g(t),p(0)=-(ab)=[(a)(b)]由于R是交换环，因此有
8第7章多项式环f(0)g(0) =[Zr(a,))] [Z(b)]=22(a,)t(b)2=[2-(a)(b)] 台台=p(t).1因此保持加法与乘法运算定理4告诉我们，如果R是有单位元的交换环，且R有一个子环R，满足定理4的条件（这时我们称R可看成是K的一个扩环），那么一元多项式环K[x]中所有通过加法与乘法表示的关系，在不定元×用R的任一元素代人后仍然保持.因此我们只要把一元多项式环K[]中有关加法与乘法的等式研究清楚了，通过不定元x用环R中任一元素代人，就可以得到环R中有关加法与乘法的等式.这就是一元多项式环K[x]的通用性质的含义.从前面的讨论知道，K[x],K[A]（其中A是K上任一n级矩阵)都可以作为定理4中的环R.因此，不定元x可以用x的任一多项式代入，也可以用矩阵A的任一多项式代人，从K[x】中已知的有关加法和乘法的等式，得到K[x]中又一些有关加法和乘法的等式，或者得到K[A]中有关加法和乘法的等式例1设B是数域K上n级幂零矩阵，其幂零指数为l.令A=I+kB,kEK证明A可逆，并且求A-1证明在K[x]中直接计算可得(1-x)(1+x+x+..+x-1)=1-x.(18)不定元x用-kB代人，从（18）式得(I+hB)[1-kB+(-kB)2+... +(-kB)"-) =I-(-kB).由于B'=0,因此从上式得(I+hB)[1-kB +k"B2 + . +(-1) -"k"-"B*-"] = 1.(19)（19）式表明，I+kB可逆，并且1(I+kB) -1=/-kB+k"B* +...+(-1)"-*-"B"-1习题7.11.在K[x中，如果(x）=cg（x），其中eeK且e+0，试问：f（x）与g（x）的次数有什么关系？2.在K[x]中，如果（x）g（x）=e,其中cK且c￥0,试问：f(x）与g（x）的次数各是多少？3.在K[]中，如果(x）与g（x）的次数都是3，试问：f(x）+g（x）的次数一定是3吗？4.设R是一个有单位元1（手0）的环，对于aER，如果存在beR，使得