：第三版前言VII式.由于它们都是由A一入I的方幂的秩决定，因此除去Jordan块的排列次序外，A的Jordan标准形是唯一的我们进一步证明了：定理4域F上n维线性空间V上的线性变换A有Jordan标准形的充分必要条件是，A的最小多项式m（入）在F入1中能分解成一次因式的乘积，由于A的最小多项式m（入）与A的特征多项式f入）在域F中有相同的根（重数可以不同），而且在域E（F）中也有相同的根（重数可以不同），因此也有下述结论：域F上n维线性空间V上的线性变换A有Jordan标准形当且仅当A的特征多项式（入）在F[入]中能分解成一次因式的乘积.我们在下册的第10章讲述了研究实内积空间的结构的3条途径：第1条途径是对于n维欧几里得空间V，证明它存在标准正交基.标准正交基的优越性之一是计算V中任意两个向量的内积非常容易，优越性之二是向量α的坐标的分量可以由内积给出（即α的Fourier展开）.第2条途径是利用实内积空间的子空间我们证明了：若U是实内积空间V的有限维子空间，则V有这样的直和分解：V=UU，于是当V是有限维实内积空间（即欧几里得空间）时，U的一个标准正交基与U的一个标准正交基合起来是V的-个标准正交基.当V=UU+时，有平行于U在U上的投影P，称它为V在U上的正交投影，α在P下的象α称为α在U上的正交投影α,U是α在U上的正交投影当且仅当d(α，α）≤d（α,），U.由此引出α在U上的最佳逼近元的概念，当U是有限维时，α在U上的最佳逼近元存在且唯一，它就是α在U上的正交投影。第3条途径是实内积空间的同构.两个有限维实内积空间（即欧几里得空间）同构的充分必要条件是它们的维数相同：从而任一几维欧儿里得空间都与装备了标准内积的R"同构，其中一个同构映射是把α对应到α在V的一个标准正交基下的坐标.我们指出，实内积空间V到V的同构映射α的定义可以改成：“如果实内积空间V到V有一个满射便得α保持内积不变，那么称为实内积空间V到V的一个同构映射.”这是因为从保持内积不变可以推出の保持长度不变，从而可以证明是V到V的线性映射，并且是单射，这样结合定义中α是满射，便得出α是双射我们在第10章84讲述了实内积空间V中与度量有关的变换：正交变换和对称变换.从平面上的平移、旋转、轴反射的共同点引出了正交变换的概念：实内积空间V到自身的满射A如果保持内积不变，那么称A是V上的一个正交变换由于正交变换A保持内积不变，因此A保持向量的长度不变：从而可以证明A是V上的线性变换，且A是单射，结合定义中A是满射得出A是可逆的，于是实内积空间V上的一个变换A是正交变换当且仅当A是V到自身的一个同构
VII第三版前言映射.我们从实内积空间V在它的有限维子空间U上的正交投影的性质引出了对称变换的概念：实内积空间V上的一个变换A如果满足（Aα，β）=（α，Aβ），VαβBEV，那么称A是V上的对称变换.我们证明了V上的对称变换一定是线性变换，我们从几何空间中的度量问题引出了实数域上的线性空间的内积的概念，研究了实内积空间，从数学的角度讲，自然要在复数域上的线性空间V中引进内积的概念，研究复内积空间：但是我们不能满足于这点，我们还应该问：在什么背景下需要研究复数域上的线性空间及其上的内积？我们讲了一个例子：交流电路中复阻抗Z，它的模给出了这段交流电路的阻抗，它的一个辐角给出了这段电路的电压与电流的相位差.这表明物理学科中的不少间题用复数来刻画有优越性因此我们需要研究复数域上的线性空间，引进内积的概念，研究复内积空间（即酉空间）我们讲迷了复数域上的线性空间如何引进内积的概念，为什么不能是V上的双线性函数，只能是对第一个变量是线性的；为了使（α，α）为实数，要求内积具有Hermite（埃尔米特）性：（α，β）=（β，α），Vα，βeV；还要求内积具有正定性，于是给出了复数域上的线性空间V上的内积的定义.我们在下册第10章84的后面写了阅读材料七，探索n维欧几里得空间V上的正交变换A的最简单形式的矩阵表示是什么样子，基本思路仍是把V分解成A的不变子空间的直和，我们在下册第10章$6的后面写了阅读材料八，探索并且证明了特征为2的域F上的n维线性空间V上的对称双线性函数的度量矩阵的最简单形式.在这次修订中，我们增加了一些重要的习题，在书末给出了这些题的解答的详细提示，本套教材从理论上，从数学系的后续课程以及物理等学科的需要上，精选了教学内容和习题，教学内容都是基础的、主要的内容，理论深刻，深入浅出：习题都是重要的题，这些教学内容的深度和广度以及习题的题量对于大学一年级的高等代数课程的教学是合适的，需要了解高等代数的更多内容和做更多习题的读者，可以看作者写的为本套教材配套的内容全面、例题和习题丰富的《高等代数学习指导书》（上册、下册）（丘维声编著，清华大学出版社，2005年，2009年）.本套书可作为综合性大学、理工科大学和高等师范院校的高等代数课程的教材
IX第三版前言感谢高等教育出版社的李蕊编辑和田玲编辑，她们为本书的出版付出了辛勤的劳动，真诚欢迎广大读者对本套教材提出宝贵意见丘维声于北京大学数学科学学院2014年6月
第二版前言高等代数课程是大学数学科学学院（或数学系、应用数学系）的主干基础课之一，在一年级上、下两个学期讲授，学生从中学进入大学，有一个学习方法的适应过程，中学阶段学习的数学都是比较具体的对象，我们因势利导，在本套教材中把高等代数研究的具体对象放在前半部分，而把抽象对象放在后半部分，在上册讲述线性代数研究的具体对象：线性方程组，数域K上n元有序数组的向量空间K，矩阵的运算，K到K的线性映射，欧几里得空间R，矩阵的相抵关系、相似关系，矩阵的特征值和特征向量，二次型与矩阵的合同关系，在下册讲述多项式环，任意域上的线性空间，线性映射（包括线性变换和线性函数），具有度量的线性空间（包含欧几里得空间，酉空间，以及正交空间和辛空间）.我们在近十年的教学实践中，采取上述教学内容体系，使广大学生比较顺利地学到了高等代数的理论和方法，提高了高等代数课的教学质量，下册一开始（即第7章）讲多项式环，我们由浅入深把中学讲的多项式提高到数域K上一元多项式的概念上，在讲了一元多项式的加法和乘法的定义以及它们满足的运算法则后，通过比较整数集Z、偶数集2乙、数域K上所有一元多项式组成的集合KxI数域K上所有n级矩阵组成的集合M（K之间的共同点，抽象出环的概念接着讲述了数域K上一元多项式环K[]的通用性质：若R是一个有单位元1的交换环，R，是R的一个子环，且1R，，K到R，有一个双射T保持加法与乘法运算，对于任意给定的teR，令g,（Za,x）=ZT(a）t,则,是K[x]到R的映射，且,保持加法与乘法运算，称，是x用t代入.K[]的这一通用性质表明，我们只要把一元多项式环K[]中有关加法与乘法的等式研究清楚了，通过不定元x用环R中任一元素1代入，就可以得到环R中有关加法与乘法的等式.于是我们在本章以研究一元多项式环K[x]的有关加法与乘法的等式（即研究K[x]的结构）为主线，首先讲了整除的概念和性质，讲了带余除法，讲了最大公因式与互素的概念和性质：然后讲了不可约多项式的概念和性质，唯一因式分解定理，重因式的概念和判别，接着分别决定了复数域、实数域上的所有不可约多项式，讲了有理数域上不可约多项式的判别.在讲完一元多项式环K[x]后，我们又讲了多元多项式环，着重讲了对称多项式.本章的最后一节以模4剩余类环为例讲了模m剩余类环，讲了域的概念，模P刺余类域（P是系
Ⅱ第二版前言数），介绍了域的特征的概念：最后指出，类似于数域K上的一元（多元）多项式，可以定义在一域F上的一元（多元）多项式，并且有关数域K上一元多项式环K[x]的结论，只要在它的证明中没有用到这个域含有无穷多个元素，那么它对于任一域F上的一元多项式环Fx也成立，此外，还需要注意，如果域F的特征为素数P，则F的任一元素的P倍都等于零，由上述看出，我们在处理多项式理论这一模块上，渗透了现代数学的观点：研究结构和态射（即保持运算的映射）由于我们在本章最后一节引进了域的概念，介绍了模P剩余类域，因此，我们在后面各章中就可以讲任意域上的线性空间及其线性映射的理论，就可以讲任意域上的线性空间中如何引进度量概念，这种讲法是信息时代的要求，因为在信息的可靠与安全间题（例如，纠错编码与密码）中，需要用到有限域的知识，以及有限域上的线性空间的理论，线性代数是研究线性空间和线性映射的理论。我们在上册讲了具体的线性空间：数域K上n元有序数组的向量空间K；讲了具体的线性映射：K到K的线性映射A（α）=Aα，其中A是数域K上s×n矩阵.在下册我们讲抽象的线性空间：任意域F上的线性空间：讲抽象的线性映射：域F上线性空间V到V的线性映射，其中包括域F上线性空间V上的线性变换和线性函数，学生在大学学习了一个学期后，学习能力有了提高，这样我们就可以在下册讲线性空间时，不停留在线性空间的定义，以及线性相关和线性无关的定义上，而是以研究线性空间的结构为主线在第8章的第1节，我们在讲了线性空间的定义和简单性质，以及线性相关和线性无关，极大线性无关组和向量组的秩的定义和性质之后，就着重研究线性空间的结构，指出任一线性空间的结构由它的一个基所决定，而维数对于研究有限维线性空间的结构起着重要作用在几维线性空间V中取定一个基后，每一个向量都有它的坐标，且在不同基下的坐标之间有坐标变换公式在第2节我们又利用子空间来刻画线性空间的结构，在讲了子空间的结构，子空间的交与和以及它们的维数公式之后，着重讲子空间的直和，如果V的两个（或若干个）子空间的直和等于V，那么这也刻画了V的结构.在第3节我们从域F上n维线性空间V与F"有相同的性质，引出线性空间同构的概念，推导出域F上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们的维数相同，于是域F上有限维线性空间的同构类与非负整数之间有一个一一对应，由此看出，有限维线性空间的结构是如此简单！我们还讲了在域F上的n维线性空间V中，取定一个基后，向量到它的坐标的对应是V到F"的一个同构映射，并且V的任一子空间U在α下的象α（U）与U的维数相同.利用这个结论可以把对于域F上任一n维线性空间的性质的研究，归结为对于F"的性质的研究，我们通过例题与习题（包括以后几章的有关习题）让学生掌握这一方法，在第4节我们讲了商空间的概念及其维数公式