1第三版前言2.充分展示了数学的思维方式数学这门学科以抽象思维和逻辑思维著称，但是这些不是数学思维的全部，数学的思维方式是一个全过程：观察客观现象，提出要研究的间题，抓住主要特征，抽象出概念，或者建立模型；运用“解剖麻雀”、直觉、归纳、类比、联想、逻辑推理等进行探索，猜测可能有的规律；采用公理化的方法，只使用公理定义和已经证明了的定理进行逻辑推理来严密论证，揭示出事物的内在规律，从而使纷繁复杂的现象变得井然有序，按照“观察一抽象一探索一猜测一论证”这一数学的思维方式讲授数学知识，就可以使同学们比较容易地学好数学，而且从中受到数学思维方式的熏陶和训练，这对于同学们今后从事任何工作都有帮助，终身受益我们在讲高等代数的概念和定理时，往往是首先观察几何空间中的例子，由此引出高等代数的概念，猜测可能有的结论，寻找证明结论的思路，由于数学的论证只能是从公理、定义和已经证明了的定理进行逻辑推理，因此我们在写本套教材时有一个严密的理论体系，一环扣一环，只要把前面学过的概念和定理（包括命题、推论、引理、公式、性质等）理解清楚了，记在脑子里了，那么在讲新的定理或做习题时，通过深入分析，就能从脑子里调出学过的概念和定理（包括已经做过的习题的结论），进行逻辑推理给予严密的证明3.写进了作者的一些独到的科学见解我们给出了行列式按k行（或k列）展开的拉普拉斯定理一个比较简洁的证明，详见上册第2章86我们给出了数域K上n元线性方程组xa,+xα2+*+xa.=有解的充分必要条件是β属于由αα2，"α生成的子空间《α,α2，α）.这促使我们去研究K中由给定的向量组生成的子空间的结构.面为了研究由向量组ααz，"，α，生成的子空间W的结构，我们希望在向量组αiα2，"，α,中找到一个部分组是线性无关的，并且W中每个向量可由这个部分组线性表出，这时表出方式就唯一了，表法唯一有很多好处，由这个想法我们引出了向量组的极大线性无关组的概念，像这个例子那样，我们在讲一个重要概念时，总是要先讲一两个例子或目的，然后才引出这个概念，我们在第4章83证明了两个n级矩阵的乘积的行列式等于它们的行列式的乘积之后，提出间题：若A，B分别是s×n，n×s矩阵，则AB等于什么呢？我们先解剖一个“麻雀”：设(brd.)aaab2dA=B=C2C1(bdy
ⅢI第三版前言则(a,b,+azbz+a,b,a,d,+ada,d,AB=c,b,+c,b2+cb3c,d,+cd,+c,d,这启发我们把（aa2a），（bibzb）cc2c）（ddd,）T分别看成是几何空间中向量a，b，c，d的右手直角坐标，然后运用解析几何中的拉格朗日恒等式得a.ba:d|AB|=(axc).(bxd)c.bc.d2"(-10 2]bd.asd,ad.h1B(1.2) +4(2.3)1211.21.213由此受到启发，猜测当s<n时，有.2..1,V2....AB|=1s<<nsnV,V2,,V12.上式就是Binet-Cauchy公式我们在第4章85运用分块矩阵的初等行变换以及拉普拉斯定理给出了证明：我们在下册第7章81从数域K到K[x］中所有零次多项式添上零多项式组成的集合S的一个映射：aa（即非零数a对应到零次多项式a，数0对应到零多项式O），以及从数域K到M（K）中所有数量矩阵组成的集合W的一个映射：kkl，都是双射，且都保持加法与乘法运算，抽象出环同构映射的概念然后观察在K[x]中，(2x+3)(x+5)=2x2+13x+15：(1)设AEM（K），在由A的所有多项式组成的集合KAJ中有(2A+3I)(A+5I)=2A+10A/+3IA+(3/)(5I)=2A*+13A+151.(2)（2）式的计算过程与（1）式的计算过程类似，这促使我们想：能不能不必进行（2）式的计算过程，而从（1）式中x用矩阵A代入，每一项的系数换成它在K到W的环同构映射k卜→kl下的象，就直接得到（2）式呢？由此受到启发，我们猜测并且证明了下述结论：定理1（一元多项式环K[x]的通用性质）设K是一个数域，R是一个有单位元1的交换环，并且K到R的一个子环R（它含有1）有一个环同构映射T
IV第三版前言任意给定tER，令KIx→Rd,:f(x) =ZaxH Zr(a)f(t),1=0则，是K[x]到R的一个映射，α（x）=I，并且g，保持加法与乘法运算，即如果f(x)+g(x)=h(x),f(x)g(x)=p(x),那么有f(t)+g(t)=h(t),f(t)g(t)=p(t).我们把映射，称为x用代入。Kx,KA]（其中A是K上任一n级矩阵）都可以作为上述定理1中的环R，因此不定元x可以用K[x]中的任一多项式代入，也可以用K[A]中任一矩阵代入，从KxI中已知的有关加法和乘法的等式，得到K[x】中新的等式，以及得到K[A中有关加法和乘法的等式，这对于研究一元多项式环K[x]的结构，以及研究线性变换A的最简单形式的矩阵表示（x也可以用A代入）起了十分重要的作用，我们在下册第7章82，83，85分别指出并且证明了：整除性不随数域的扩大而改变，首项系数为1的最大公因式不随数域的扩大而改变，互素性不随数域的扩大而改变，有无重因式不随数域的扩大而改变，这些结论有重要作用我们在下册第8章阐述了研究线性空间的结构的4条途径：第1条途径是基.只要知道了域F上线性空间V的一个基，那么V中每一个向量α可以由这个基中的有限多个向量线性表出，且表法唯一，第2条途径是子空间的直和.如果域F上n维线性空间V=V,④V④V那么V的一个基V，的一个基V的一个基合起来是V的一个基：反之也成立，第3条途径是线性空间的同构.域F上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们的维数相同：从而域F上任一n维线性空间V都与F同构，在V中取一个基αi,α2，",α，把V中每个向量α对应到它在此基下的坐标的映射就是V到F的一个同构映射。第4条途径是商空间.设W是域F上线性空间V的一个子空间，如果商空间V/W的一个基为β,+W.β+W,,B,+W.令U=β,,β，"β》，那么β,β2"",β,是U的一个基，并且V有一个直和分解：V=WU.这是可以利用商空间研究线性空间的结构的道理之一.对于n维线性空间V的非零子空间W，由于dim（V/W）=dimV-dimW，因此dim（V/W）<dimV.从而我们可以利用数学归纳法来证明线性空间中有关被商空间继承的性质的结论.这是可以利用商空间研究线性空间的结构的道理之二
第三版前言V我们在下册第9章83后面的阅读材料六中，从几何空间V中，设U是过定点0的一个平面，W是过点O的一条直线且不在U内，平行于W在U上的投影Pu,平行于U在W上的投影P.都是幂等变换且是正交的：而Pu+P=I也是幕等变换，且rankP+rankP=rankI，受到启发，猜测有下述结论：定理2设V是数域K上的n维线性空间，A，，A，,A，都是V上的线性变换，则A,,A2,",A,是两两正交的幂等变换当且仅当A=A,+A，+…·+A，是幂等变换，且rankA=rankA，+rankA,+...+rankA,.我们先证相应的矩阵的结论。必要性通过直接计算立即得出A是幂等矩阵，然后利用数域K上幂等矩阵的秩等于它的迹证出rankA=rankA，++rankA,关于充分性，我们先运用线性空间的同构求出了AM（K）的维数；然后在A=A，++A,且rankA=rankA，+..+rankA,的条件下证明了AM,（K)有直和分解：AM（K）=AM（K）AM（K）：最后利用AM（K）的直和分解式一举证出了A，A，，A，是两两正交的幂等矩阵.然后利用数域K上的n维线性空间V中取定一个基后，V上的线性变换A对应到它在这个基下的矩阵A的映射是双射，且保持加法、数量乘法与乘法运算，立即证出了定理2.我们在研究域F上n维线性空间V上的不可以对角化的线性变换A的最简单形式的矩阵表示时，途径是把V分解成A的非平凡不变子空间的直和，此时A在V的适当基下的矩阵A是分块对角矩阵.如何得到A的一些非平凡不变子空间呢？由于对于F[x]中任一多项式g（x），有Kerg（A）是A的不变子空间，因此为了得到V的这样的直和分解，引出了A的零化多项式的概念，进而引出了A的最小多项式的概念·若A的最小多项式m（入）在F入中能分解成m(入)=(入-入)(入-入,)2...(入-A)则V=Kerm(A)=Ker(A-^,I)"Ker(A-A,)".OKer(A-入,I)"记W,=Ker(A-入I)j=1,2,,s，则V=WW,..W.在W,中取-个基j=12,..,s它们合起来是V的一个基，A在此基下的矩阵A=diagA,，A2，,A.，其中A是AIW在W的上述基下的矩阵j=1,2，，s.为了使A最简单，就应当使每个A最简单，利用唯一因式分解定理可证出A|W，的最小多项式是（入一入），从而AIW,=入I+B,,其中B是W上的暴零指数为I的幂零变换.B在W的上述基下的矩阵B=A一入I.于是为了使A最简单，就应使B，最简单，这样间题归结为幂零变换的最简单形式的矩阵表示，设B是域F上「维线性空间W上的幕零变换，且幕零指数为1.对于任意
VI第三版前言αEW且α+0，由于B=0，因此存在正整数使得B-α≠0，而Bα=0.于是B-α，，Bα，α线性无关.从而它是子空间B-α，.Bα，α）的一个基，这个子空间是B不变子空间，称它为一个B-强循环子空间.由于B（B-α）=Bα=0，因此B-α是B的属于特征值0的一个特征向量我们把B的属于特征值0的特征子空间记作W。对于任意nEW.，有Bn=0.于是<n）是一个B-强循环子空间.有可能n是某一个B=强循环子空间的第一个基向量B-α.当t=1时，这个B-强循环子空间就是《n）.假如W能分解成若干个B-强循环子空间的直和：W=(B-α...,Bα..a.)..?(Ba,,..a.)@(n.)@.@<n.),则向量组B-αrB-"α2，,B-"α,n."n。线性无关，它们都属于W.又由于对于任意nW。，n都属于某一个B-强循环子空间.因此我们猜测上述向量组是W。的一个基，从而猜测有下述结论：定理3设B是域F上r维线性空间W上的幂零变换，其幂零指数为I,B的属于特征值0的特征子空间记作W。，则W能分解成dimW。个B一强循环子空间的直和，我们对线性空间的维数厂作第二数学归纳法，运用上面所讲的利用商空间研究线性空间的结构的两个道理，证明了定理3.B在每个B一强循环子空间《B"-α,,,Bα,,α上的限制在基B"-α,,…,Bα,,下的矩阵是01..000010：三：0001(000..0称它为一个主对角元为0的t级Jordan块，记作J,（0）.在W的上述直和分解式中，每个B-强循环子空间取上述基，它们合起来是W的一个基，B在此基下的矩阵B是由这些Jordan块组成的分块对角矩阵，称它为一个Jordan形矩阵，把B称为B的一个Jordan标准形.我们给出了B中Jordan块的总数的公式，以及t级Jordan块的个数N(t)的计算公式.由于它们都由B的方幂的秩决定，因此B的Jordan标准形除去Jordan块的排列次序外是唯一的从前面所讲的研究V上线性变换A的最简单形式的矩阵表示的途径，以及上述幂零变换的Jordan标准形的结论，我们立即得到：若A的最小多项式m（入）在F入中能分解成一次因式的乘积，则V中存在一个基，使得A在此基下的矩阵A为Jordan形矩阵，其主对角元为A的全部特征值，我们给出了主对角元为入的Jordan块的总数N的公式，以及其中t级Jordan块的个数N（）的计算公