1、提出问题 抓住本质提出需要定量研究的问题，简 称提出问题。 2.提出假设经过分析、简化，弄清已知和未知条件 及其相互关系，简称提出假设。 3.建立模型利用科学知识，找出量化关系，即列出 数学关系式，这是关健，简称建立模型。 4.检验与修改反复检验和修改，直至满意为止，简 称检验与修改。 5.求解与应用 由其不同的数学知识，解出数学方程 的解。说明解的实际意义。 8
8 1、 提出问题 抓住本质,提出需要定量研究的问题,简 称提出问题。 2．提出假设 经过分析、简化，弄清已知和未知条件 及其相互关系，简称提出假设。 3．建立模型 利用科学知识，找出量化关系，即列出 数学关系式，这是关健，简称建立模型。 4．检验与修改 反复检验和修改，直至满意为止，简 称检验与修改。 5．求解与应用 由其不同的数学知识，解出数学方程 的解。说明解的实际意义
二、实例 例1.传染病模型 传染病的流行，可以从医学角度探讨其传染机理， 然而对于传染病的蔓延过程，即被传染的人数的变化状 况，可以从数学上建立模型加以探索。 研究传染病的传播，其中需要分析的因素很多，如 疾病的传染力、潜伏期、人群的密度、人群的流动性、 年龄、人群中每个个体的免疫力、患者的死亡率、病人 的隔离条件和反复感染的可能性等等。如何从纷杂的数 据中，抽出科学的结论，即建立出符合客观规律的数学
9 二、实例 例 1．传染病模型 传染病的流行，可以从医学角度探讨其传染机理， 然而对于传染病的蔓延过程，即被传染的人数的变化状 况，可以从数学上建立模型加以探索。 研究传染病的传播，其中需要分析的因素很多，如 疾病的传染力、潜伏期、人群的密度、人群的流动性、 年龄、人群中每个个体的免疫力、患者的死亡率、病人 的隔离条件和反复感染的可能性等等。如何从纷杂的数 据中，抽出科学的结论，即建立出符合客观规律的数学
模型，这就需要在研究过程中，有所侧重，有所舍弃。 任何问题通常都不可能一开始就对它做出恰当的假设， 建立完善有效的模型，建模是一个不断修改、逐步接近 客观现关的过程。下面就具体分析： 由于传染病往往是病人通过空气、食物等接触将病 菌传播给健康者。因此，不妨设单位时间内一个病人能 传染的人数是常数k,病人的人数随时间变化而变化，设 时刻病人人数为I=I(t),从而 I(t+△t)-I(t)=k·I(t)△i 即 d =kl dt 0
10 模型，这就需要在研究过程中，有所侧重，有所舍弃。 任何问题通常都不可能一开始就对它做出恰当的假设， 建立完善有效的模型，建模是一个不断修改、逐步接近 客观现关的过程。下面就具体分析： 由于传染病往往是病人通过空气、食物等接触将病 菌传播给健康者。因此，不妨设单位时间内一个病人能 传染的人数是常数 k,病人的人数随时间变化而变化，设t 时刻病人人数为I I t = ( )，从而 I t t I t k I t t ( ) ( ) ( ) + − = 即 dI kI dt =
设t=0时，有I个病人，即 Il=o=Io 解此方程 dl-kdt InI=kt+Inc 将Io=I代入上式得解 I=loeM 此式表明病人人数按指数无限增加，与实际情况不符。 故此式作为传染病模型并不合适。分析原因来的假设， 一个病人在单位时间内传染的人数k不应是常数。因为随 着病人的增多，健康者减少，那么一个病人在单位时间里 能够接触的健康者也相应减少。故修改原假设：单位时 间内一个病人能传染的人数与当时的健康者人数成正比
11 设t = 0时，有 0 I 个病人，即 0 0 | t I I = = 解此方程 1 dI kdt I = ln ln I kt c = + kt I ce = 将 0 0 | t I I = = 代入上式得解 0 kt I I e = 此式表明病人人数按指数无限增加，与实际情况不符。 故此式作为传染病模型并不合适。分析原因来的假设， 一个病人在单位时间内传染的人数k不应是常数。因为随 着病人的增多,健康者减少,那么一个病人在单位时间里 能够接触的健康者也相应减少。故修改原假设：单位时 间内一个病人能传染的人数与当时的健康者人数成正比
比例系数为B,并设某地区总人数为常数n。(为避免过 于复杂，其它情况不计)。设t时刻健康人数为S),故 S(t)+1(t)=n,k=BS(t)=B(n-1) I(t+△t)-I(t)=k·I(t)·S(t)△t=BI(n-)△i 即 Il=o=Io I(n-) In-1 =Bnt+lnc,即 =C ebmr n-l n- 2
12 比例系数为 ，并设某地区总人数为常数 n。（为避免过 于复杂，其它情况不计)。设t 时刻健康人数为S t( )，故 S t I t n ( ) ( ) + = ，k S t n I = = − ( ) ( ) I t t I t k I t S t t I n I t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + − = = − 即 0 0 ( ) | t dI I n I dt I I = = − = 1 ( ) dI dt I n I = − , 1 1 ( )dI n dt I n I + = − ln ln I nt c n I = + − , 即 1 nt I c e n I = −