一、绪论练习题参考解答 1.考察表 1 =0+1 2+3+4 =1+8 5+6+7+8+9 =8+27 10+11+12+13+14+15+16=27+64 按照上述算例找出它们的一般规律并用适当的数学式子表示出来，而且证明它。 解：(+1)+(m2+2)+…+(n+1)=n3+(n+1)° 2.观察下列各个和式的值 (1)1+3,1+3+5,1+3+5+7,…. (2)1,1+8,1+8+27,1+8+27+64, 这有一个简单的规律吗？ 解：(1)1+3+…+(2n-l)=m2. 2r42*tw-(a 证明(2)：由(n+1)-n3=372+3+得 23-13=3×12+3×1+1,33-23=3×22+3×2+1,…, (n+1)3-n=3×n2+3×n+1,再将这些式子相加得 (n+1)3-1P=3×(1+22+…+n2)+3×(1+2+…+m)+n, 从而得1P+2+…+r=n+1护-户-n_n+)_mn+1X2n+) 3 2 6 3.观察等式：1×2×3×4+1=2,2×3×4×5+1=12,3×4×5×6+1=192， ,由此猜想：199天199819992002其中n等于多少？ 解：3994001，规律为：1997×2000+1=3994001
1 一、绪论练习题参考解答 1． 考 察 表 1 0 1 2 3 4 1 8 5 6 7 8 9 8 27 10 11 12 13 14 15 16 27 64 按照上述算例找出它们的一般规律并用适当的数学式子表示出来，而且证明它。 解 ： 2 3 2 2 3 n n n n n 1 2 1 1 2． 观 察 下 列 各 个 和 式 的 值 （ 1） 1+3， 1+3+5， 1+3+5+7， . （ 2） 1， 1+8， 1+8+27， 1+8+27+64， . 这 有 一 个 简 单 的 规 律 吗 ？ 解 ：（ 1） 2 1 3 (2 1) . n n （ 2） 2 3 3 3 ( 1) 1 2 2 n n n 证 明 （ 2）： 由 3 3 2 ( 1) 3 3 1 n n n n 得 3 3 2 2 1 3 1 3 1 1 ， 3 3 2 3 2 3 2 3 2 1 ， ， 3 3 2 ( 1) 3 3 1 n n n n ， 再 将 这 些 式 子 相 加 得 3 3 2 2 2 ( 1) 1 3 (1 2 ) 3 (1 2 ) n n n n ， 从 而 得 3 3 2 2 2 ( 1) 1 ( 1) ( 1)(2 1) 1 2 3 2 6 n n n n n n n n . 3．观察等式： 2 1 2 3 4 1 5 ， 2 2 3 4 5 1 11 ， 2 3 4 5 6 1 19 ， ，由此猜想： 2 1997 1998 1999 2000 1 , n 其中 n 等于多少？ 解： 3994001，规律为： 1997 2000 1 3994001
4.观察下面各串数的规律，在空格中填上适当的数。 (1)2,3,5,8,13，，34,… (2)2,3,5,7,11,13,—19 （3)2,5,11,23,47,-，… (4)6,7,3,0,3,3,6,9,5,— (6)11,31,41,61,71,101,131,-, 解：1~6的答案依次是：21,17,95,4,56151 这是因为：(1)从第三项开始，后一项是前两项之和： (2)从2开始的质数： (3)后一项与前一项的差是以3为首项，2为公比的等比数列： (4)从第三项开始，后一项是前两项和的个位数字： (5)后一数是前一数的号倍： (6)从11开始的个位是1的质数 5.下面三组数是按照某种规律排列的，分别求出它们的第100个数。 32’912’518 器器测←计， (3)132537 ,101-n+1) 458312…20=2n 保常案和装衣是绸测调 2
2 4． 观 察 下 面 各 串 数 的 规 律 ， 在 空 格 中 填 上 适 当 的 数 。 （ 1） 2， 3， 5， 8， 13， ____， 34， （ 2） 2， 3， 5， 7， 11， 13， ____， 19， （ 3） 2， 5， 11， 23， 47， ____， （ 4） 6， 7， 3， 0， 3， 3， 6， 9， 5， ____， （ 5） 2 1 1 3 ,1,1 ,2 ,3 , ___, 3 2 4 8 （ 6） 11， 31， 4 1， 61， 71， 101， 131， ____， 解 ： 1～ 6 的 答 案 依 次 是 ： 21， 17， 95， 4， 1 5 16 ， 151. 这 是 因 为 ：（ 1） 从 第 三 项 开 始 ， 后 一 项 是 前 两 项 之 和 ； （ 2） 从 2 开 始 的 质 数 ； （ 3） 后 一 项 与 前 一 项 的 差 是 以 3 为 首 项 ， 2 为 公 比 的 等 比 数 列 ； （ 4） 从 第 三 项 开 始 ， 后 一 项 是 前 两 项 和 的 个 位 数 字 ； （ 5） 后 一 数 是 前 一 数 的 3 2 倍 ； （ 6） 从 11 开 始 的 个 位 是 1 的质数 . 5．下 面 三 组 数 是 按 照 某 种 规 律 排 列 的 ，分 别 求 出 它 们 的 第 100 个数。 （ 1） 1 1 5 7 3 11 , , , , , , 3 2 9 12 5 18 （ 199 2 1 300 3 n n ） （ 2） 7 5 13 4 19 1, , , , , , 8 6 16 5 24 （ 301 3 1 400 4 n n ） （ 3） 1 3 2 5 3 7 , , , , , , 1 4 3 8 5 12 （ 101 1 200 2 n n ） 解 ：答 案 和 规 律 依 次 是 ： 199 2 1 300 3 n n ， 301 3 1 400 4 n n ， 101 1 200 2 n n
6.下面有八个算式，布成4行2列，仔细观察它们，说一说这些算 式有什么特点？ 3+1.5 3×1.5 6+1.2 6×1.2 9+1.125 9×1.125 11+1.1 11×1.1 解：(1)每行都是两个算式，每列都是四个算式。 (2)从左向右数第一列的四个算式都是求一个整数和一个小数的 和，第二列四个算式都是求一个整数和一个小数的乘积。 (3)同一行的两个算式中，相加的两个数的和等于相乘的两个数的 积。 (4)各个算式中的小数都是带小数。 (5)同一个算式中，整数除以带小数的结果是比原整数小1的整数。 (小数解)注解：要使A除以A-1能除尽，A-1必须是只含有素因 数2或5的数。 7.引申问题：怎样的两个数，它们的和等于它们的积？您能写出这 样的两个数吗？您能从中发现一些规律吗？ 解：(1)首先考虑整数的情况，除了2+2=2×2，还有0+0=0×( 问题：您能证明除了上述两种情形之外，没有别的整数对满足要求吗？ (2)现在我们来找分数的答案。我们可以从已知答案中去寻找线索 3+3-3x2+3-3x3-3×3 2 2 一般地，我们有： a*-(）-a+gatD.a+aD-a+） a a 这样，用任意一个整数代替字母a,就可以得到一个分数的解 答，进而可知有无穷多个分数的解答。例如，取a=5时得
3 6．下 面 有 八 个 算 式 ，布 成 4 行 2 列 ，仔 细 观 察 它 们 ，说 一 说 这 些 算 式 有 什 么 特 点 ？ 3 1.5 3 1.5 6 1.2 6 1.2 9 1.125 9 1.125 11 1.1 11 1.1 解 ：（ 1） 每 行 都 是 两 个 算 式 ， 每 列 都 是 四 个 算 式 。 （ 2） 从 左 向 右 数 第 一 列 的 四 个 算 式 都 是 求 一 个 整 数 和 一 个 小 数 的 和 ， 第 二 列 四 个 算 式 都 是 求 一 个 整 数 和 一 个 小 数 的 乘 积 。 （ 3）同 一 行 的 两 个 算 式 中 ，相 加 的 两 个 数 的 和 等 于 相 乘 的 两 个 数 的 积 。 （ 4） 各 个 算 式 中 的 小 数 都 是 带 小 数 。 （ 5）同 一 个 算 式 中 ，整 数 除 以 带 小 数 的 结 果 是 比 原 整 数 小 1 的整数。 （ 小 数 解 ） 注 解 ： 要 使 A 除 以 A1 能除尽， A1 必 须 是 只 含 有 素 因 数 2 或 5 的数。 7．引 申 问 题 ：怎 样 癿 两 个 数 ，它 们 癿 和 等 于 它 们 癿 积 ？ 您 能 写 出 这 样 癿 两 个 数 吗 ？ 您 能 从 中 发 现 一 些 规 律 吗 ？ 解 ：（ 1） 首 先 考 虑 整 数 的 情 况 ， 除 了 2 2 2 2 ，还有 0 0 0 0 问题：您能证明除了上述两种情形之外，没有别的整数对满足要求吗？ （ 2）现 在 我 们 来 找 分 数 的 答 案 。我 们 可 以 从 已 知 答 案 中 去 寻 找 线 索 ： 3 3 2 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 一 般 地 ， 我 们 有 ： 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1 ( 1) ( 1) a a a a a a a a a a a a a 这 样 ， 用 任 意 一 个 整 数 代 替 字 母 a ， 就 可 以 得 到 一 个 分 数 的 解 答，进而 可 知 有 无 穷 多 个 分 数 的 解 答 。 例 如 ， 取 a 5 时 得
6+6×g 更一般地，a还可以取分数（初二同学还可以考虑a取无理数）： 6+号6×号a=2 1111_1111 1777 3+4写*星a=3 我们发现，在以上各组数中，两个数的分子相同，并且分母的和等于分子， 这是不是一般性的规律呢？ a+b a+bb(a+b)+a(a+b)(a+b)2 a+ba+b b ab ab b 让我们再回到问题的起点，设这两个数为a,b,由a+b=ab,我 们有（不妨设a,b不为0）：。+6山，也就是说，当且仅当两个数的 倒数之和为1时，这两个数的和等于它们的积。 利用这一规律，我们来证明非零整数的解答只有(2,2)一组 数。 首先当a,b的绝对值都大于2时，则+1左边的绝对值小于 1,故上式不成立；而当a,b的绝对值不都大于2时，不难验证a,b不 能等于±1，-2（即使其之一等于±1，-2也不行），故只有a=2,b=2. 二、第一章第一节分数的巧算练习题参考解答 4.16.36.64.100.144.196.256 1.计算：3+15+35+63+99+43+195+25 解： ￥
4 6 6 6 6 5 5 更 一 般 地 ， a 还 可 以 取 分 数（ 初 二 同 学 还 可 以 考 虑 a 取 无 理 数 ）： 7 7 7 7 2 ,( ) 5 2 5 2 5 11 11 11 11 5 ,( ) 6 5 6 5 6 7 7 7 7 4 ,( ) 3 4 3 4 3 a a a 我们发现，在以上各组数中，两个数的分子相同，并且分母的和等于分子， 这是不是一般性的规律呢？ 2 a b a b b a b a a b a b a b a b ( ) ( ) ( ) a b ab ab a b 让 我 们 再 回 到 问 题 的 起 点 ，设 这 两 个 数 为 ab, ，由 a b ab ，我 们 有（ 不 妨 设 ab, 不 为 0）： 1 1 1 a b ，也 就 是 说 ，当 且 仅 当 两 个 数 的 倒数之和为 1 时 ， 这 两 个 数 的 和 等 于 它 们 的 积 。 利 用 这 一 规 律 ， 我 们 来 证 明 非 零 整 数 的 解 答 只 有 （ 2， 2）一组 数 。 首先当 ab, 的 绝 对 值 都 大 于 2 时 ，则 1 1 1 a b 左 边 的 绝 对 值 小 于 1，故 上 式 不 成 立 ；而 当 ab, 的 绝 对 值 不 都 大 于 2 时 ，不 难 验 证 ab, 不 能等于 1, 2 （ 即 使 其 之 一 等 于 1, 2 也 不 行 ）， 故 只 有 a b 2, 2. 二、第一章第一节分数的巧算练习题参考解答 1． 计 算 ： 4 16 36 64 100 144 196 256 3 15 35 63 99 143 195 255 . 解 ：
4,16,36,64,100,144,196.256 3+15+356399143195255 =8+577g*5 1 1 1 1 1 -8+0-写3写…+哈+信》 1111 11 =8+5-=8号 2#算名00+88 261220 解： 1,5,11.19,89,109 2+6+i2+20+…+90+110 1 =10-（72+2x3*3x4+4x5++gx0+i0 =0-0-+兮*+哈 =0-0-7-片 2 3 100 3.计绿1x+2或4212)+*2+99+2+ 解：因为 n+1 n+1 (1+2+…+m)1+2+…+(n+1明0+m)×n0+n+1)×(n+) 2 2 =m+1n+2)=2n+D）m+1n+2 所以原式= 11 1 25049 241223+(2×33x4++(9x100100x10l=2x21010d=1-1010-3050 41名品300是%是 解：
5 4 16 36 64 100 144 196 256 3 15 35 63 99 143 195 255 1 1 1 1 1 1 1 1 8 ( ) 1 3 3 5 5 7 7 9 9 11 11 13 13 15 15 17 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 8 [(1 ) ( ) ( ) ( ) ( )] 2 3 3 5 5 7 13 15 15 17 1 1 8 8 [1 ] 8 . 2 17 17 2．计算 1 5 11 19 89 109 2 6 12 20 90 110 . 解 ： 1 5 11 19 89 109 2 6 12 20 90 110 1 1 1 1 1 1 10 ( ) 1 2 2 3 3 4 4 5 9 10 10 11 1 1 1 1 1 10 [(1 ) ( ) ( )] 2 2 3 10 11 1 1 10 (1 ) 9 . 11 11 3．计算 2 3 100 1 (1 2) (1 2)(1 2 3) (1 2 99)(1 2 100) 解：因为 1 1 (1 2 )[1 2 ( 1)] (1 ) (1 1) ( 1) 2 2 4 1 1 2( ) ( 1)( 2) ( 1) ( 1)( 2) n n n n n n n n n n n n n n n ， 所 以 原 式 ＝ 1 1 1 1 1 1 1 1 2 5049 2[( ) ( ) ( )] 2 ( ) 1 . 1 2 2 3 2 3 3 4 99 100 100 101 2 10100 10100 5050 4．计算 5 7 9 11 13 15 17 19 1 6 12 20 30 42 56 72 90 . 解 ：