记为X=X1,X2,,Xn)TN(u,B). 注当B=(b)是阶正定对称矩阵，有引B1≠0 若引B引=0则不能用(*)式给出其概率密度. 定理3.1.1n维正态分布随机向量X=(X,X, ,X)的特征函数为 w)-op'u-w 其中u=(u1,u2,…,un)7. 电子科技大学
电子科技大学 注 定理3.1.1 n维正态分布随机向量X=(X1 , X2 , …, Xn ) 的特征函数为 (**)
定义3.1.2若u是n维实向量，B是n阶非负 定对称阵，称以(**)式中的φ()为其特征函数 的n维随机变量X服从n维正态分布。 注若(**)式中的B!=0,称X服从退化正态分 布或奇异正态分布. 2.边缘分布及二阶矩 以下结论总假定随机向量X=(X,X2,,X,)T 服从N(,B). 电子科技大学
电子科技大学 定义3.1.2 若μ是n 维实向量, B 是n 阶非负 定对称阵, 称以(**)式中的 为其特征函数 的n 维随机变量X 服从n 维正态分布. (t) 2.边缘分布及二阶矩
定理3.1.2n维正态分布随机变量X的任一 子向量 (XXXk) (m≤n) 也服从正态分布B(元，B),其中 a=(uk1uk2,…,km),B是B保留第k,k2,, k,m行及列所得的m阶矩阵. 多元正态分布的 边缘分布仍是正 态分布 电子科技大学
电子科技大学 定理3.1.2 n维正态分布随机变量X的任一 子向量 ( , , , ) ( ) τ 1 2 X X X m n k k km 多元正态分布的 边缘分布仍是正 态分布
定理3.1.3设u和B分别是随机向量X的数 学期望向量及协方差矩阵，即 E(X)=4,1≤isn; b,E{X:一X一4}，1≤i,jn. n维正态分布 3.独立性问题 由二阶矩确定 定理3.1.4n维正态 分布随机向量X,X, 等价于其协 X相互独立的充要条 方差矩阵是 对角阵。 件是它们两两不相关 电子科技大学
电子科技大学 定理3.1.3 设μ和 B 分别是随机向量X 的数 学期望向量及协方差矩阵, 即 E(Xi)=μi , 1≤i≤n; bij =E{(Xi－μi)(Xj－μj)}, 1≤i ,j≤n. n维正态分布 由二阶矩确定. 3.独立性问题 定理3.1.4 n维正态 分布随机向量X1 ,X2 ,…, Xn相互独立的充要条 件是它们两两不相关. 等价于其协 方差矩阵是 对角阵
4.正态随机向量的线性变换 定理3.1.5正态随机向量X=(XvX…,Xm)T, 记E()=山，协方差矩阵为B. 1)对X的线性组合 7=∑，X,=LX,L=4,2,,ln) i=1 有 EY)=1,4,=L, D)=∑2H,=LB,， i=1k=1 电子科技大学
电子科技大学 4.正态随机向量的线性变换 定理3.1.5正态随机向量 X=(X1 ,X2 ,…,Xn ) τ ， 记E(X)=μ, 协方差矩阵为B. 1 , n j j j Y l X LX L=(l1 , l2 ,…, ln ) 有 1 1 τ ( ) , n n j k jk j k D Y l l b LBL 1 ( ) μ, n j j j E Y l L 1) 对X 的线性组合