一、线性表示的定义 第三章线性方程组 ·零向量可以由任一向量组线性表示. ·任一n维向量可以由n维单位向量组线性表示. e1=(1,0,.,0),E2=(0,1,.,0),.,en=(0,0,.,1) 称为n维单位向量.对任一n维向量a=(a1,a2,.,an),有 0=a1e1+a2e2+.+anen: ·n维向量组c1v2,.,中每一个向量都可以由这个向量组本身 线性表示 a1=0·01+.1·01+.+0·0s
第三章 线性方程组 • 零向量可以由任一向量组线性表示. • 任一𝒏维向量可以由𝒏维单位向量组线性表示. 𝜺𝟏 = 𝟏, 𝟎, ⋯ , 𝟎 , 𝜺𝟐 = 𝟎, 𝟏, ⋯ , 𝟎 , ⋯ , 𝜺𝒏 = 𝟎, 𝟎, ⋯ , 𝟏 称为𝒏维单位向量. 对任一𝒏维向量𝜶 = 𝒂𝟏, 𝒂𝟐, ⋯ , 𝒂𝒏 ，有 𝜶 = 𝒂𝟏𝜺𝟏 + 𝒂𝟐𝜺𝟐 + ⋯ + 𝒂𝒏𝜺𝒏. • 𝒏维向量组𝜶𝟏, 𝜶𝟐, ⋯ , 𝜶𝒔中每一个向量都可以由这个向量组本身 线性表示. 𝜶𝒊 = 𝟎 ∙ 𝜶𝟏 + ⋯ 𝟏 ∙ 𝜶𝒊 + ⋯ + 𝟎 ∙ 𝜶𝒔 一、线性表示的定义
一、线性表示的定义 第三章线性方程组 给定一个向量β和一组向量a1,2,.,如何判断β能否由 01,C2,.,线性表示？ 例设a1=(1,2,1),a2=(1,-1,1),03=(1,0,2),B=(3,4,6) B能否由ac1,2,a3线性表示？ 解设B=k141+k2Q2+k3ag,即 (3,4,6)=k1(1,2,1)+k2(1,-1,1)+k3(1,0,2) =(k1+k2+k3,2k1-k2,k1+k2+2k3)
第三章 线性方程组 • 给定一个向量𝜷和一组向量𝜶𝟏, 𝜶𝟐, ⋯ ,𝜶𝒔，如何判断𝜷能否由 𝜶𝟏, 𝜶𝟐, ⋯ , 𝜶𝒔线性表示？ 例 设𝜶𝟏 = 𝟏, 𝟐, 𝟏 , 𝜶𝟐 = 𝟏, −𝟏, 𝟏 , 𝜶𝟑 = 𝟏, 𝟎, 𝟐 , 𝜷 = 𝟑, 𝟒, 𝟔 𝜷能否由𝜶𝟏,𝜶𝟐, 𝜶𝟑线性表示？ 解 设𝜷 = 𝒌𝟏𝜶𝟏 + 𝒌𝟐𝜶𝟐 + 𝒌𝟑𝜶𝟑，即 𝟑, 𝟒, 𝟔 = 𝒌𝟏 𝟏, 𝟐, 𝟏 + 𝒌𝟐 𝟏, −𝟏, 𝟏 + 𝒌𝟑 𝟏,𝟎, 𝟐 = (𝒌𝟏 + 𝒌𝟐 + 𝒌𝟑,𝟐𝒌𝟏 − 𝒌𝟐,𝒌𝟏 + 𝒌𝟐 + 𝟐𝒌𝟑) 一、线性表示的定义