由分式线性映射的存在唯一性定理知: 在已知圆周和C上分别取定三个不同 点以后必存在分式线性映射将C-F>C 以下讨论这个映射会把C的内部映射成什么? C将x平面划分为两个区域内部为d1,外部为d2 它的象C"把w平面分为内韶1,外部D2,则可以断 定d的象F(1)必然是D1,D2中的一个,而d2的象 F(d2)是D1和D2中的另一个(不可能把d1的部分映 入D1,d1的另一部分映入D2)
, '. ' F C C C C 点以后 必存在分式线性映射 将 ⎯F → 在已知圆周 和 上分别取定三个不同 由分式线性映射的存在唯一性定理知： 以下讨论这个映射会把C的内部映射成什么？ 是 和 中的另一个 定 的 象 必然是 中的一个 而 的 象 它的象 把 平面分为内部 外 部 则可以断 将 平面划分为两个区域内部为 外部为 ， 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 1 2 ( ) ( ) , , ' , , : , F d D D d F d D D d C w D D C z d d (不可能把d1的部分映 入D1，d1的另一部分映入D2 )
事实上, 设z1,z2∈d1,若线段x12→圆弧w1形2(或直线段v,w2 且w∈D2,w2∈D1→弧ww2必与C"交于一点Q∈C", 它一定是C上某点的象由假设Q又是x1z2上某一点的 象,就有两个不同的点一个在圆C上,另一在线段 x1z2上)被映射为同一点 这与分式线性映射的一对应性相矛盾
, ' ' , , , ( , ), 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 w D w D w w C Q C z z d z z w w w w F → 且 弧 必 与 交于一点 设 若线段 圆 弧 或直线段 ⌒ ⌒ ) . z1 z2 上 被映射为同一点 事实上， d1 d2 F → D1 C C' D2 2 z 1 z w2 w1 Q 这与分式线性映射的一一对应性相矛盾! 象 就有两个不同的点一个在圆周 上 另一在线段 它一定是 上某点的象由假设 又 是 上某一点的 , ( , , 1 2 C C Q z z
由以上讨论给出确定对应区域的两个方法: (1)z∈d1,若wo=F(zo)∈D1→l1→D; 否则若=F(z0)∈D2→d1→D2 (2)x1,z23C,则w1=F(z1),形2=F(z2) W3=F(x3)∈C 若C依1→z2→的绕向与C依形1→2→w3的 绕向相同时那么d1-D1,反之d1→D2 (沿曲线方向绕行时在观察者左方的区域
( ) ' (2) , , , ( ), ( ), 3 3 1 2 3 1 1 2 2 w F z C z z z C w F z w F z = 则 = = , ( ) . (1) , ( ) ; 0 0 2 1 2 0 1 0 0 1 1 1 w F z D d D z d w F z D d D F F = → = → 否 则 若 若 由以上讨论给出确定对应区域的两个方法： ( , ) , , 1 1 1 2 1 2 3 ' 1 2 3 沿曲线方向绕行时在观察者左方的区域 绕向相同时 那 么 反 之 若 依 的绕向与 依 的 d D d D C z z z C w w w ⎯F → ⎯F → → → → →