R人邮教育本讲内容w.nvlnoyu.c01数列极限的定义02数列极限的性质03函数极限的概念04函数极限的性质
01 数列极限的定义 02 数列极限的性质 03 函数极限的概念 04 函数极限的性质 本 讲 内 容
02OOAO数列极限的性质人邮教育定理1.2（极限唯一性）收敛数列的极限是唯一的即若数列x收敛，且limx，=α和limx，=b，则a=bPRY
19 定理1.2 （极限唯一性） 收敛数列的极限是唯一的. 即若数列 收敛，且 和 ，则 . 02 数列极限的性质
02OOARA数列极限的性质人邮教育证明：若数列(x,}收敛，且limx，=α和limx,=b，则a=bn??2R?（反证法）假设αb.取e=b>0证明b-a得limx,=ap $N,n>N,x,-a2nRYh-a同理，limx,=bp$N，n>Nz，x,-l得2HR取N=max(N,N,，当n>N时，(1)和(2)同时成立，矛盾故假设不成立，唯一性即证
20 02 数列极限的性质 故假设不成立，唯一性即证. （反证法）假设 取 得 例 4 证明：若数列 收敛，且 和 ，则 取 当 时 , (1)和(2)同时成立，矛盾. 同理, 得 证明
02OOAOR数列极限的性质人邮教育证明：数列(x）发散已知 x, =(- 1)n+l,n =1,2,L证明（反证法）假设此数列收敛于a，即limx，=α.根据数则$NiN，当n>N时，有列极限的定义，取e2即当n>N时.x,但是，在n?￥的过程中，x重2复取得1和-1两个值，而这两个值不可能同时属于长度为1的开因此，这个数列发散区间
21 证明 取 ， ， 02 数列极限的性质 （反证法）假设此数列收敛于 a，即 . 根据数 即当 时， 但是，在 的过程中， 重 复取得 1 和 ̶ 1两个值，而这两个值不可能同时属于长度为 1 的开 区间 因此，这个数列发散. 列极限的定义， 则 ，当 时，有 已知 证明：数列 发散. 例 5
02O0A0数列极限的性质R人邮教育定义1.7对于数列x，如果存在正数M，使得x,fM,"ni Nt,则称数列有界inü是否有界R6根据有界的定义，判断数列iin+1pnfI,"ni Nt.解01因为取M=1，有n+linü有界所以数列in+1p
22 02 数列极限的性质 定义1.7 则称数列有界. 对于数列 如果存在正数 使得 例 6 根据有界的定义，判断数列 是否有界. 解 因为取 ，有 所以数列 有界