《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第2章 第2讲 函数求导法则

高等数学（上册）第1章导数与微分第2讲函数的求导法则人民邮电出版社POSIS&TELECOMPRESS

高等数学（上册） 第2讲 函数的求导法则 第1章 导数与微分

RS人邮教育本讲内容w.ryjiaoyu.co01函数和、差、积、商的求导法则02反函数求导法则03复合函数求导法则04高阶导数

01 函数和、差、积、商的求导法则 02 反函数求导法则 03 复合函数求导法则 04 高阶导数 本 讲 内 容

01函数和、差、积、商的求导法则OOOORA人邮教育定理2.3设函数u(x),v(x)在点x处可导，则函数u(x)±v(x),u(x)u(x) v(x),(v(x)±0)在点x处也可导，且v(x)(1)[u(x)±v(x)) = u(x)±v(x);(2) [u(x)>(x)) = u(x)>(x)+ u(x)v(x);特别地，[Cu(x)}=Cu(x)（C为常数），v'(x)u(x)u(x).v(x)-u(x).v'(x)(3)特别地v?(x)(x)v(x)v(x)

定理2.3 设函数u(x),v(x) 在点x处可导，则函数u(x)  v(x)， ( ) ( ) ( ) ( ( ) 0) ( ) u x u x v x v x v x  ,  在点x处也可导，且 u(x) v(x) u (x) v (x)  （1）      ； u(x)v(x) u (x)v(x) u(x)v (x)  （2）     ； 特别地，Cu(x)   Cu (x（) C为常数）， 特别地， 2 1 ( ) ( ) ( ) v x v x v x           2 . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u x u x v x u x v x v x v x              （3） ， 01 函数和、差、积、商的求导法则 3

01函数和、差、积、商的求导法则COAORA人邮教育注法则（1）（2）可以推广到任意有限个可导函数相加减和相乘的情形(u±v±w)=u'±v'±w'(uvw)'=u'vw+v'uw+w'uv

注 (u  v  w)  u v w 法则（1）（2）可以推广到任意有限个可导函数 相加减和相乘的情形. (uvw)  uvw vuw wuv . 01 函数和、差、积、商的求导法则 4

01函数和、差、积、商的求导法则COA0RA人邮教育设函数u(x)，v(x)在点x处可导，利用定义证明：例1[u(x)v(x)] = u'(x)v(x)+u(x)v'(x);o解根据导数定义并运用极限的运算法则u(x+ △x)v(x+ △x)-u(x)v(x)[u(x)(x)] = lim "ArAr-→0[u(x+ Ax)v(x + Ax) -u(x)v(x +Ax) ]+ [u(x)v(x + △x)-u(x)v(x) ]limAr->0Axrv(x + Ax) +u(x). (x+Ax) -v(x)u(x+△x)-u(x)=limArAxrAr-→0u(x+Ax)- u(). im v(x + Ax)+u(x) lim)v(x+△x)-v(x)= limAxAxAx->0Ax>0Ax-由于v(x)存在，故v(x)在点x处连续，从而limv(x+△x)=v(x)所以[u(x)v(x) =u(x)v(x)+u(x)v(x)

  0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim x u x x v x x u x v x u x v x   x         例 1 解 设函数 u(x), v(x) 在点x处可导，利用定义证明： u(x)v(x) u (x)v(x) u(x)v (x)      ； 根据导数定义并运用极限的运算法则 5     0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim x u x x v x x u x v x x u x v x x u x v x   x              . 01 函数和、差、积、商的求导法则 5 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) x u x x u x v x x v x v x x u x   x x                     0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) lim x x x u x x u x v x x v x v x x u x   x     x               ， 由于v (x) 存在，故v(x)在点x处连续，从而 0 lim ( ) ( ) x v x x v x      ， 所以 u(x)v(x) u (x)v(x) u(x)v (x)       