列向量之间的线性关系;矩阵的初等列变换不改变(部分 或全部)行向量之间的线性关系 证设A为一个矩阵,它经过有限次初等行变换 变成矩阵B.任取A的k列构成矩阵Ak,此时A 变成矩阵B·显然B的列向量就是B中与A的各 列向量位置对应的列向量.由§2知道A与B的各 列向量之间的线性关系分别由齐次线性方程组Ax=0
A B A k Ak Ak 证 设 为一个矩阵，它经过有限次初等行变换 ．任取 的 列构成矩阵 ，此时 变 列向量之间的线性关系；矩阵的初等列变换不改变（部分 或全部）行向量之间的线性关系． 变成矩阵 Bk Bk B Ak Ak Bk 成矩阵 ．显然 的列向量就是 中与 列向量位置对应的列向量．由§2知道 与 列向量之 的各 的各 间的线性关系分别由齐次线性方 程组A x 0 k
与Bx=0决定,其中x=(x,…,x)但是,由第二 章知道,这两个齐次线性方程组同解.所以A的列向 量与B的列向量之间有相同的线性关系.由于AT的列向 就是A的行向量,所以定理的两部分结论是等价的 对矩阵A的转置矩阵AT使用定理的前半部分,就 可以得到另一部分的结论 证毕
Bk x 0 ( , , ) 1 k x x x Ak Bk A A A A 与 决定，其中 知道，这两个齐次线性方程组同解．所以 与 的列向量之间有相同的线性关系． 就是 的行向量，所以定理的两部分结论是等价的． 的转置矩阵 可以得到另一部分的结论． ．但是，由第二 章 的列向 量 由于 的列向 对矩阵 使用定理的前半部分，就 证毕
定理8及其证明过程为我们提供了利用矩阵初等变换求 向量组的秩与极大无关组的具体做法,下面我们举例说明 例10设向量组 a aa= 4 449 (1)求向量组A的一个极大无关组,并由此得到 向量组A的秩; (2)把向量组A中不属于所求得的极大无关组
A 9 4 4 2 , 7 2 1 1 , 9 2 2 1 , 6 6 1 1 , 3 4 1 2 1 2 3 4 5 a a a a a A A A 向量组的秩与极大无关组的具体做法， ： （1）求向量组 的一个极大无关组，并由此得到 的秩； 定理8及其证明过程为我们提供了利用矩阵初等变换 求 例10 设向量组 下面我们举例说明． 向量组 （2）把向量组 中不属于所求得的极大无关组