沈阳师范大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第4章 数字特征 4.4 协方差及相关系数

3.定义设(X,Y)为二维随机变量,若E[X-E(X)I[Y-E(Y)I存在则称EIX-E(X)IY-E(Y)为随机变量X与Y的协方差记为Cov(X,Y),即Cov(X,Y) = E{[X - E(X)I[Y -E(Y)I)协方差与方差的关系D(X +Y) = D(X)+ D(Y) +2Cov(X,Y)

( ) Cov( , ) {[ ( )][ ( )]}. Cov( , ), {[ ( )][ ( )]} . , , {[ ( )][ ( )]} , X Y E X E X Y E Y X Y E X E X Y E Y X Y X Y E X E X Y E Y = − − − − − − 记为 即 则称 为随机变量 与 的协方差 设 为二维随机变量 若 存在 3. 定义 协方差与方差的关系 D(X +Y) = D(X) + D(Y) + 2Cov(X,Y)

4.协方差的计算公式(I) Cov(X,Y) = E{[X -E(X)]I[Y - E(Y)I:设X,Y为离散型随机变量，p,为联合分布列,则Cov(X,Y) = ZZ[x, - E(X)ly, - E(y)]pu设X,Y为连续型随机变量，f(x,y)为联合概率密度,则 p+[x - E(X)Iy-E(y)lf(x, y)d xd yCov(X,Y)=

4. 协方差的计算公式 (1) ( , ) {[ ( )][ ( )]}; Cov X Y E X E X Y E Y = − − Cov( , )  ( ) ( ) . , , , =  − − i j i j j i i j X Y x E X y E Y p 设 X Y 为离散型随机变量 p 为联合分布列 则 X Y x E(X )y E(Y )f x y x y X Y f x y Cov( , ) ( , )d d , , ( , ) , = − −   + − + − 设 为连续型随机变量 为联合概率密度 则

5.协方差的计算公式(2) Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y):证明(1)Cov(X,Y) = E({[X - E(X)I[Y - E(Y)])= E[XY -YE(X)- XE(Y) + E(X)E(Y))= E(XY)- 2E(X)E(Y) + E(X)E(Y)= E(XY)-E(X)E(Y)

5. 协方差的计算公式 (2) Cov(X,Y) = E(XY) − E(X)E(Y); 证明 (1)Cov(X,Y ) = E{[X − E(X)][Y − E(Y )]} = E[XY −YE(X) − XE(Y ) + E(X)E(Y )] = E(XY ) − E(X)E(Y ). = E(XY ) − 2E(X)E(Y ) + E(X)E(Y )

6.性质(1) Cov(X,Y) = Cov(Y,X);(2) Cov(aX,bY)= abCov(X,Y), a, b为常数;(3) Cov(X, + X2,Y) = Cov(Xi,Y)+ Cov(X2,Y)(4) D(X ±Y) = D(X)+ D(Y)±2Cov(X,Y);(5)若X与Y相互独立，则Cov(X,Y)=0

6. 性质 (1) Cov(X,Y ) = Cov(Y, X); (2) Cov(aX,bY ) = abCov(X,Y ), a, b 为常数; (3) Cov( , ) Cov( , ) Cov( , ). X1 + X2 Y = X1 Y + X2 Y (4) D X Y D X D Y Cov X Y ( ) ( ) ( )  = +  2 ( , )； (5)若X Y Cov X Y 与 相互独立，则 ( , ) 0 = ．

(2) Cov(aX,bY)= abCov(X,Y), a, b 为常数;证明 Cov(aX,bY)= E(aX ·bY)-E(aX)E(bY)=abE(XY)-abE(X)E()=ab|E(XY)-E(X)E(Y)= abCov(X,Y)

(2) Cov(aX,bY ) = abCov(X,Y ), a, b 为常数; 证明 Cov(aX,bY) = E(aX bY) − E(aX )E(bY ) = abE(XY) − abE(X )E(Y ) = abE(XY) − E(X )E(Y ) = abCov(X,Y)