第2章 §2.3高阶导数 燕列雅权豫西王兰芳李琪
§2.3 高阶导数 第2章 燕列雅 权豫西 王兰芳 李琪
一、高阶导数的概念 物体做变速直线运动s=0)则速度1=4,即=S dy d ds 加速度a= ),即a=(s) dtdt dt 定义若函数y=f(x)的导数y=f(x)可导则称 d f(x)的导数为/(x)的二阶导数,记作y或ax2即 d dv y"=(y)或 dx dx dx 类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,依次类推, n-1阶导数的导数称为n阶导数,分别记作 4 y,y,…,y )哉dy 或 dx dxt dx
一、高阶导数的概念 s = s(t) ,则速度 即 v = s 加速度 , d d t s v = t v a d d = ) d d ( d d t s t = , 即 a = (s ) 物体做变速直线运动 定义 若函数 y = f (x) 的导数 y = f (x) 可导, 或 , d d 2 2 x y 即 y = ( y ) 或 ) d d ( d d d d 2 2 x y x x y = 类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , n −1 阶导数的导数称为 n 阶导数 , y , , (4) y ( ) , n y 的导数为 f (x) 的二阶导数 , 记作 y 依次类推 , 分别记作 则称 或 , d d 3 3 x y , d d 4 4 x y n n x y d d
二、高阶导数求法举例 1.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数 例1设y= arctan x,求f”(0,fm(0 解 2x y-1+X (,2) 1+x 2x 2(3x2-1) (1+x2)2 (1+x21x0=0;f"0)=2x-D 2x f"(0) 2 (1+x =0
二、 高阶导数求法举例 例1 设 y = arctan x,求f (0), f (0). 解 2 1 1 x y + = ) 1 1 ( 2 + = x y 2 2 (1 ) 2 x x + − = ) (1 ) 2 ( 2 2 + − = x x y 2 3 2 (1 ) 2(3 1) x x + − = 2 2 0 (1 ) 2 (0) = + − = x x x f 2 3 0 2 (1 ) 2(3 1) (0) = + − = x x x = 0; f = −2. 1.直接法: 由高阶导数的定义逐步求高阶导数
例2设y=x0(a∈R,求ym 解 y =o y"=(ox)=a(a-1)x J=(a(0-1)x -2 (o-1)(0-2)x y=a(a-1)…(a-n+1)x"(n≥1) 若a为自然数n,则 y"=(x)m=nh,y(n)=(n!)=0
例 2 ( ), . (n) 设 y = x R 求y 解 −1 y = x( ) 1 = − y x 2 ( 1) − = − x 3 ( 1)( 2) − ( ( 1) ) = − − x 2 = − − y x ( 1) ( 1) ( 1) ( ) = − − + − y n x n n n 若为自然数n,则 ( ) ( ) ( ) n n n y = x = n!, ( !) ( 1) = + y n n = 0
注意:求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并, 分析结果的规律性,写出m阶导数(数学归纳法证明) 例3设y=ln(1+x),求y) 1 解y= y 1+x 1+x) 2! 3! (1+x)3 (1+x)
例3 ln(1 ), . (n) 设 y = + x 求y 解 注意: x y + = 1 1 2 (1 ) 1 x y + = − 3 (1 ) 2! x y + = 4 (4) (1 ) 3! x y + = − 求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并, 分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明)