第3章 §3.1微分中值定理 燕列雅权豫西王兰芳李琪
第3章 §3.1 微分中值定理 燕列雅 权豫西 王兰芳 李琪
一、微分中值定理 定义1设函数f(x)在(a,b)内有定义,x∈(a2b) 若存在x0的一个邻域,如果在该邻域内, (1)f(x)≤f(x)则称x为f(x)的极大值点, 称f(x)为函数的极大值; (2)f(x)2f(x)则称x为f(x的极小值点, 称f(x0)为函数的极小值 极大值点与极小值点统称为极值点;极大值与极小 值统称为极值 定义2导数为零的点称为函数的驻点
定义1 设函数 f (x)在(a,b)内有定义, ( , ), x0 a b 若存在x0的一个邻域， 如果在该邻域内 , 0 (1) f x f x ( ) ( ), 则称 为 的极大值点 , 0 x f x( ) 称 ( ) 为函数的极大值 ; 0 f x 0 (2) f x f x ( ) ( ), 则称 x0 为 f (x) 的极小值点 , 称 ( ) 为函数的极小值 . 0 f x 极大值点与极小值点统称为极值点 ; 值统称为极值. 极大值与极小 一、微分中值定理 定义2 导数为零的点称为函数的驻点
1.罗尔(Roe)定理 费马erma)引理 y=f(x)在U(x0)有定义 0 且/(x)f(x),f(x)存在f(x)=0 (或≥) 证设x0+Ax∈Ux0)2f(x0+△x)≤f(x0) 则f(x0)=1im f(x0+△x)-f(x0) Ax→>0 △ f(x0)≥0(△x→>0-) r(x)s0(Ax→0) f(x0)=0 证毕 即:可导函数的极值点一定是驻点.但反过来不成立
费马(fermat)引理 1. 罗尔( Rolle )定理 ( ) , 在 x0 有定义 且 ( ) 0 f (x) f (x0 ), f x 存在 (或) f (x0 ) = 0 证 设 ( ), ( ) ( ), 0 0 0 0 x + x x f x + x f x 则 ( ) 0 f x x f x x f x x + − = → ( ) ( ) lim 0 0 0 = ( 0 ) → − f− (x0 ) x ( 0 ) → + f+ (x0 ) x 0 0 ( ) 0 f x0 = x y o 0 y = f (x) x 证毕 即: 可导函数的极值点一定是驻点. 但反过来不成立
罗尔(Roll)定理 ay=f(x) y=f(x)满足: (1)在区间a,b上连续 (在区间(a,D内可导0a4b文 (3)f(a)=f(b) 在(a,b)内至少存在一点5,使f(2)=0. 证因f(x)在[a,b上连续,故在a,bl上取得最大 值M和最小值m 若M=m,则f(x)=M,x∈[a,b 因此v∈(a,b),f()=0
罗尔（ Rolle ）定理 满足: (1) 在区间 [a , b] 上连续 (2) 在区间 (a , b) 内可导 (3) f ( a ) = f ( b ) , 使 f () = 0. x y o a b y = f (x) 证 因f (x)在[a , b]上连续， 故在[ a , b ]上取得最大 值M 和最小值 m . 若 M = m , 则 f (x) M, x[a , b], 因此 (a , b), f () = 0 . 在( a , b ) 内至少存在一点
若M>m,则M和m中至少有一个与端点值不等, 不妨设M≠f(a),则至少存在一点5∈(anb),使 f(2)=M2则由费马引理得f()=0 注意: 1)定理条件不全具备,结论不一定成立.例如, x,0≤x<1 f(x)= 0 xX三 f(x)=x f(x=x X∈[-1,1 x∈ [0,1
若 M > m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等, 不妨设 M f (a) , 则至少存在一点 (a,b), 使 f () = M, f () = 0. 注意: 1) 定理条件不全具备, 结论不一定成立. 例如, = = 0, 1 , 0 1 ( ) x x x f x 1 x y o 则由费马引理得 [ 1,1] ( ) − = x f x x [0,1] ( ) = x f x x 1 x y −1 o 1 x y o