第2章 §2.函数的微分 燕列雅权豫西王兰芳李琪
§ 2.5 函数的微分 燕列雅 权豫西 王兰芳 李琪 第2章
微分的概念 二、微分运算法则 三、微分在近似计算中的应用
二、微分运算法则 三、微分在近似计算中的应用 一、微分的概念
微分的概念 引例:一块正方形金属薄片受温度变化的影响,其 边长由x0变到x0+△x,问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为x,面积为A,则A=x2,当x在x取 得增量Δx时,面积的增量为 △A=(x0+△x)2-x2 △x x△x △ =2x0△x+(Ax)2 关于x的x→0时为x A=xoXo 线性主部高阶无穷小 故△A≈2x△x 称为函数在x0的微分
一、微分的概念 引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 , 2 A = x 0 x x 面积的增量为 2 2 0 A = (x + x) − x 2 0 = 2x x + (x) x x 0 2 0 A = x x x 0 2 (x) 关于△x 的 线性主部 高阶无穷小 x →0 时为 故 A x x 2 0 称为函数在 x0 的微分 当 x 在 0 x 取 得增量 x 时, 0 x 变到 , 0 边长由 x + x 其
定义若函数y=f(x)在点x的增量可表示为 △y=f(x0+Ax)-f(x0)=A△x+0(△x) (A为不依赖于△x的常数) 则称函数y=f(x)在点x可微,而A△x称为f(x)在 点x的微分,记作dy或d,即 dy=A△x 问题1.函数y=f(x)在点x的增量何时可表示为 △y=A△x+O(△x)? 2.如果函数y=f(x在点x的增量可表示为 △y=AAx+o(△x),那么4=?
的微分, 定义 若函数 y = f (x) 在点 x0 的增量可表示为 ( ) ( ) 0 0 y = f x + x − f x ( A 为不依赖于△x 的常数) 则称函数 y = f (x) 而 Ax 称为 f (x)在 0 点x 记作 dy 或d f , 即 dy = Ax 问题 1. 函数 y = f (x) = Ax + o(x) 在点 0 x 可微, 在点 x0 的增量何时可表示为 = + y A x o x ( )? 2. 如果函数 y = f (x) 在点 x0 的增量可表示为 = + y A x o x ( ), 那么A=?
事实上如果y=f(x)在点x可微,则 △y=f(x0+Ax)-f(x0)=A△x+0(△x) Ay= lim(A+ 0(△x )=A Ax→>0△xAx→>0 △x 故y=f(x)在点x可导,且f(x)=A.可以证明 若y=f(x)在点x0可导,则y=f(x)在点x可微 定理:函数y=f(x)在点x0可微的充要条件是 y=f(x)在点x0处可导,且A=f(x0),即 dy=f(o)ax (必要性如上已证,充分性的证明略)
事实上, 如果 y = f (x) 在点 可微 , 0 x 则 ( ) ( ) 0 0 y = f x + x − f x ) ( ) lim lim ( 0 0 x o x A x y x x = + → → = A 故 f (x0 ) = A = Ax + o(x) y = f (x) 在点 可导, 0 x 且 . 可以证明, 若 y = f (x) 在点 可导, 0 x 则 y = f (x) 在点 x0 可微 . (必要性如上已证, 充分性的证明略) 定理: 函数 y = f (x) 在点 x0 可微的充要条件是 y = f (x) 在点 x0 处可导， ( ) , 0 且 A = f x 即 dy = f (x )x 0